Enunciado

Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )   =   ( 4,5 , - 2 )   +   m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :   ( x - 1 ) 2   +   ( y - 2 ) 2   + ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .

Passo 1

Bom, nessa questão já temos a equação da reta em sua forma parametrizada e a equação da superfície esférica em sua forma reduzida. Dessas informações temos:

T =   ( 4   + m , 5 - m , - 2 ) ,

que nos fornecem o seguinte vetor diretor: v T → =   ( 1 , - 1,0 ) . E,

S :   ( x - 1 ) 2   +   ( y - 2 ) 2   + ( z - 1 ) 2 = 16 ,

que implica que o centro é C   = ( 1,2 , 1 ) e o raio r   =   4 .

A última informação que temos é que o raio da circunferência formada pela interseção do plano com a superfície esférica é r '   = 7 . Quem aí ainda lembra dos exercícios anteriores? Neles, tentávamos descobrir r ' , mas aqui é o contrário. Precisamos descobrir d ( C , π 1 ) e d ( C , π 2 ) .

Já sabemos que, por pitágoras, temos:

d ( C ,   π ) 2 + r ' 2 = r 2   ⇒   d ( C ,   π ) 2   =   ( 4 ) 2   -   ( 7 ) 2   ⇒ d ( C ,   π ) =   16 - 7   =   3

Para finalizar esse passo, vamos testar se essa reta passa pelo centro da esfera:

  ( 4   + m , 5 - m , - 2 )   =     k ( 1,2 , 1 )   ⇒   m   =   k - 4 ;   m = 5 -   2 k ;   k   =   - 2

ou seja, não há um valor para m ou k possível. Então a reta T não passa pelo centro da esfera.

Passo 2

Agora, pessoal,precisamos dar uma olhada no exercício resolvido. Vamos nos basear pelo Exercício Resolvido 5. Para começar precisamos reescrever a equação da reta da seguinte forma:

t : ( x , y , z )   =   ( 4,5 , - 2 )   +   m ( 1 , - 1,0 ) ⇒ x - 4 = 5 - y = m ,   z = - 2

Daí, teremos duas equações:

x + y - 9 = 0

z + 2 = 0

e podemos sintetizá-las através de dois parâmetros m e n , nos dando uma equação que descreve um feixe de plano que passa pela reta t da seguinte forma:

m ( x + y - 9 ) + n ( z + 2 ) = 0 ,   m ,   n   ≠ 0

⇒ m x + m y + n z + ( 2 n - 9 m ) = 0

Se olharmos bem, o que essa equação acima nos lembra? Isso mesmo, a equação de um plano com d   = ( 2 n - 9 m ) . Precisamos apenas de algum vínculo para buscarmos m e n que nos dê os planos desejados.

Para isso, podemos utilizar que a distância entre o centro da superfície esférica e os planos desejados será a mesma. Daí, podemos fazer a seguinte operação:

d ( C ,   π )   =   | a ⋅ x 0   + b ⋅ y 0   + c ⋅ z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2   ⇒ 3   =   | m ⋅ 1   + m ⋅ 2   +   n ⋅ 1   +   2 n - 9 m | m 2   + m 2   +   n 2     ⇒ 3   =   3 | n - 2 m | 2 m 2   +   n 2  

⇒   | n - 2 m | = 2 m 2 +   n 2  

⇒ ( n - 2 m ) 2   = 2 m 2   +   n 2  

⇒ n 2 - 4 m n   +   4 m 2 = 2 m 2   +   n 2

⇒ - 4 m n   +   2 m 2 = 0

⇒ m ( m - 2 n ) = 0

Cuja soluções são m = 0 ,   m   = 2 n .

Passo 3

Por fim, vamos substituir esses valores na nossa equação m x + m y + n z + ( 2 n - 9 m ) = 0 :

  • Para m   = 2 n :

2 n x + 2 n y + n z - 16 n = 0

2 x + 2 y + z - 16 = 0

  • Para m   =   0 :

n z + 2 n = 0

z + 2 = 0

Logo, os dois planos que buscamos são:

z + 2 = 0 e 2 x + 2 y + z - 16 = 0

Resposta

z + 2 = 0 e 2 x + 2 y + z - 16 = 0

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