Enunciado

Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório (S) e insatisfatório (I). Assuma que, se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de 2 5 e que, uma vez registrado I, tem-se 1 5 de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte.

  1. Qual é a probabilidade do quarto dia ser S, se o primeiro dia é I?
  2. O que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos dias S ou I?

Passo 1

  1. Vamos montar a matriz considerando que registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de 2 5 :
  2. 2 5

    Agora registrado I, tem-se 1 5 de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte:

    2 5 1 5

    Sabemos que p S + p I = 1 , pois são eventos complementares, assim vamos completar a tabela:

    2 5 1 5 3 5 4 5

    Passo 2

    Pronto, para determinar a probabilidade do 4 º dia basta fazer o cubo da matriz:

    2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5

    Para calcular a multiplicação de matrizes pegamos cada linha da primeira matriz com cada coluna da segunda e multiplicamos cada elemento com seu par e somamos.

    Para ficar simples vamos fazer primeiro com as duas primeiras matrizes, vamos lá:

    2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5 = 4 25 + 3 25 2 25 + 4 25 6 25 + 12 25 3 25 + 16 25 = 7 25 6 25 18 25 19 25

    Agora vamos substituir e fazer a última multiplicação de matrizes, falta pouco, vamos lá:

    2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5 = 7 25 6 25 18 25 19 25 ⋅ 2 5 1 5 3 5 4 5 =

    = 14 125 + 18 125 7 125 + 24 125 36 125 + 57 125 18 125 + 76 125 = 32 125 31 125 93 125 94 125

    O valor que queremos é o do elemento a 12 , que é 31 1225 .

    Passo 3

  3. Aqui vamos aplicar o Teorema 1.5 . 4 , que diz que se a matriz quadrada das probabilidades de transição é regular, ou seja, pois ela tem todos os elementos estritamente positivos, então é possível fazer que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo são dadas por:

p S p I = 2 5 1 5 3 5 4 5 ⋅ p S p I

Resolvendo a multiplicação vamos ter:

p S p I = 2 5 p S + 1 5 p I 3 5 p S + 4 5 p I

Agora vamos resolver o sistema:

2 5 p S + 1 5 p I = p S 3 5 p S + 4 5 p I = p I → - 0,6 p S + 0,2 p I = 0 0,6 p S - 0,2 p I = 0

Lembrando que p S + p I = 1 , assim vamos ter:

- 0,6 0,2 0 0,6 - 0,2 0 1 1 1 = - 3 5 1 5 0 3 5 - 1 5 0 1 1 1

Passo 2

Agora vamos resolver transformando em uma matriz na forma escalonada:

Primeiro fazemos L 2 = L 1 + L 2 :

- 3 5 1 5 0 0 0 0 1 1 1

Fazendo L 3 = 5 3 L 1 + L 3 :

- 3 5 1 5 0 0 0 0 0 4 3 1

Vamos ficar com o sistema:

- 3 5 p S + 1 5 p I = 0 4 3 p I = 1

Agora tá simples,temos que:

p I = 3 4

- 3 5 p S + 1 5 p I = 0 → p S = 1 3 p I = 1 3 ⋅ 3 4 = 1 4

A longo prazo, a probabilidade de termos dias satisfatórios é de 1 4 e de termos dias insatisfatórios é de 3 4 .

Resposta

  1. 31 1225
  2. A probabilidade de termos dias satisfatórios é de 1 4 e de termos dias insatisfatórios é de 3 4
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