Enunciado

Agora prove a propriedade 3.7 . 1 , usando o exercício anterior.

Passo 1

Primeiramente devemos nos lembrar qual é a propriedade 3.7 . 1 . Para facilitar sua vida, vou transcrevê-la abaixo:

O posto de uma matriz A (quadrada ou não) é dado pela maior ordem possível das submatrizes quadradas de A , com determinantes diferentes de zero.

Passo 2

É muito importante, nesse ponto, entender corretamente como se forma uma submatriz. Para que você forme uma submatriz quadrada de ordem, digamos, m , você deve escolher m linhas e m   colunas da matriz em análise e identificar os elementos. Seja a matriz abaixo:

1 1 2 3 2 1 4 5 1 3 3 7

Então, por exemplo, se quiséssemos a submatriz 2 × 2 da matriz acima correspondente às linhas 1   e   3 e colunas 1   e   4 , obteríamos:

1 3 1 7

Passo 3

Supondo então que você entendeu o que é e como se obtém uma submatriz, vamos à resolução.

Suponha que você possui uma matriz m × n , com m podendo ser diferente de n .

Se m = n e a maior submatriz com determinante não nulo for de ordem n , o resultado segue diretamente da questão anterior.

Sem perda de generalidade, suponha m > n . Nesse caso, a maior submatriz quadrada possui ordem n . Suponha que o determinante de CADA submatriz quadrada de ordem n é nulo. Então podemos zerar pelo menos uma linha de cada uma delas, ou seja, ao escolhermos uma qualquer, conseguimos zerar n elementos de uma dada linha, restando m - n elementos para zerar. Para concluir isso é fácil, basta escolher mais submatrizes até que se consiga zerar todos os elementos dessa linha. Note que isso é sempre possível, pois qualquer submatriz de ordem n que escolhermos possuirá determinante nulo e, da questão anterior, linhas linearmente dependentes.

Passo 4

Agora devemos continuar nossa investigação para n - 1 . Se cada submatriz de ordem n - 1 possuir determinante nulo, podemos repetir o processo anterior e zerar mais uma linha da matriz. Podemos deixar de fora a linha que já é zero, pois não temos mais interesse nela.

E assim você deve proceder até que encontre uma ordem k de submatriz que possui pelo menos uma das submatrizes não singular. Nesse ponto, obviamente você deve parar o processo, não conseguindo zerar mais nenhuma linha da matriz.

A essa altura, você já zerou m - k linhas da matriz, do que segue que o posto dela deve ser k , isto é, a maior ordem de submatriz que apresenta ao menos um dos determinantes não nulos.

Resposta

Demonstração.

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