Enunciado

Dê o número de inversões das seguintes permutações de 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 :

  1. 3   5   4   1   2
  2. 2   1   4   3   5
  3. 5   4   3   2   1
  4. No determinante de uma matriz 5 × 5 , que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos a 13 a 25 a 34 a 41 a 52 e a 15 a 24 a 33 a 42 a 51 ?

Passo 1

Para responder aos itens a ,   b   e   c , precisamos lembrar da definição de inversão, que é a definição 3.3 . 1 do livro:

Dada uma permutação de inteiros 1 ,   2 ,   … , n , existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.

Passo 2

Usando a definição fica fácil né? Então vamos aplicar essa definição à permutação do item a.

3   5   4   1   2

  1. 3 é menor que 5 e 4, mas é maior que 1 e 2, logo 2 inversões;
  2. 5 é maior que 4, 1 e 2, então há 3 inversões;
  3. 4 é maior que 1 e 2, então há 2 inversões;
  4. 1 é menor que 2, então não há inversão.

Conclusão: a permutação do item a tem 7 inversões.

Procedendo da mesma forma para os itens b e c, observa-se que eles tem 2 e 10 inversões, respectivamente.

Passo 3

Da definição de determinante, sabemos que o sinal que precede um termo é positivo se o número de inversões dos índices da coluna for par e negativo se o número de inversões dos índices da coluna for ímpar.

Para o termo a 13 a 25 a 34 a 41 a 52 , temos a seguinte permutação nas colunas:

3   5   4   1   2

Que corresponde ao item a. Já sabemos que essa permutação possui 7 inversões, então o sinal desse termo é negativo.

Para o termo a 15 a 24 a 33 a 42 a 51 , temos a seguinte permução das colunas:

5   4   3   2   1

Conforme já vimos anteriormente, o número de inversões é 10, do que segue que o sinal é positivo.

Resposta

  1. 7;
  2. 2;
  3. 10;
  4. Negativo e positivo, respectivamente.
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