Enunciado

Altamente motivado pelos Exercícios 20 e 21 , mostre que toda matriz-solução de um sistema linear A X = B é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado A X = 0 . Sugestão: siga as etapas seguintes, usando somente propriedade de matrizes.

  1. Mostre que se X 0 é uma solução do sistema A X = 0 e X 1 é uma solução de A X = B , então X 0 + X 1 é solução de A X = B .
  2. Se X 1 e X 2 são soluções de A X = B , então X 1 - X 2 é solução de A X = 0 .
  3. Use i) e ii) para chegar à conclusão desejada.

Passo 1

Queremos mostrar que se x 1 ⋮ x n é solução de um sistema A X = B

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n ⋅   x 1 ⋮ x n =   b 1 ⋮ b n

E y 1 ⋮ y n é solução do sistema homogêneo associado a A X = B

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n ⋅   y 1 ⋮ y n =   0 ⋮ 0

Então a soma das soluções também é solução de A X = B .

Passo 2

Para verificar a afirmação vamos substituir esse resultado na equação A X = B :

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n ⋅   x 1 + y 1 ⋮ x n + y n =   b 1 ⋮ b n

A equação representa o seguinte sistema:

a 11 x 1 + y 1 + … + a 1 n x n + y n ⋮ a 1 n x 1 + y 1 + … + a n n x n + y n

Vamos representar o sistema da forma:

a 11 x 1 + a 11 y 1 + … + a 1 n x n + a 1 n y n ⋮ a 1 n x 1 + a 1 n y 1 + … + a n n x n + a n n y n

a 11 x 1 + … + a 1 n x n + a 1 1 y 1 + … + a 1 n y n ⋮ a 1 n x 1 + … + a n n x n + a 1 n y 1 + … + a n n y n

Vemos que a soma de todos os termos acompanhados de y b com b ∈ 1 , … , n é igual a zero. Assim podemos rescrever o sistema:

a 11 x 1 + … + a 1 n x n + 0 ⋮ a 1 n x 1 + … + a n n x n + 0

Que na forma de equação matricial fica:

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n ⋅   x 1 ⋮ x n =   b 1 ⋮ b n

Assim, a soma das soluções é uma solução do sistema A X = B .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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