Enunciado

Considere o sistema

x + 6 y - 8 z = 1 2 x + 6 y - 4 z = 0

Note que podemos escrevê-lo na forma matricial

* 1 6 - 8 2 6 - 4 x y z = 1 0

  1. Verifique que a matriz X 1 = x y z = 1 1 3 0 é uma solução para o sistema.
  2. Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma
  3. X = x y z = λ - 4 2 1 + - 1 1 3 0

    onde λ ∈ R .

  4. Verifique
  5. λ - 4 2 1 = - 4 λ 2 λ λ

    é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema * ,

    * * 1 6 - 8 2 6 - 4 x y z = 0 0

  6. Conclua, dos itens a), b) e c), que o conjunto-solução do sistema * é o conjunto-solução do sistema **, somado a uma solução particular do sistema *.

Passo 1

  1. Aqui é só substituir x , y e z por 1 , 1 3 e 0 no sistema:
  2. x + 6 y - 8 z = 1 → 1 + 6 ⋅ 1 3 - 8 ⋅ 0 = 1 → 1 + 6 ⋅ 1 3 - 8 ⋅ 0 = 1 → 1 + 2 = 1 → 3 ≠ 1

    2 x + 6 y - 4 z = 0 → 2 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 3 - 4 ⋅ 0 = 0 → 2 + 2 = 0 → 4 ≠ 0

    Sendo assim, X 1 = x y z = 1 1 3 0   Não é solução.

    Passo 2

  3. Vamos resolver escalonando:
  4. Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

    1 6 - 8 1 2 6 - 4 0

    Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

    Primeiro fazendo L 2 = - 2 L 1 + L 2 :

    1 6 - 8 1 0 - 6 12 - 2

    Agora L 2 = - 1 6 L 2 :

    1 6 - 8 1 0 1 - 2 1 3

    Aqui vamos fazer L 1 = - 6 L 2 + L 1 :

    1 0 4 - 1 0 1 - 2 1 3

    Pronto, achamos a matriz ampliada linha reduzida à forma escada.

    Agora tá simples de acharmos as soluções:

    x + 4 z = - 1 y - 2 z = 1 3

    Isolando os termos vamos ter:

    x = - 1 - 4 z

    y = 1 3 + 2 z

    z = λ

    Vamos escrever da forma:

    x y z = - 1 - 4 λ 1 3 + 2 λ λ → x y z = λ - 4 2 1 + - 1 1 3 0

    Passo 3

  5. Aqui é só substituir x , y e z por - 4 , 2 e 1 no sistema:
  6. x + 6 y - 8 z = 0 → - 4 + 6 ⋅ 2 - 8 ⋅ 1 = 0 → - 4 + 12 - 8 = 0 → 0 = 0

    2 x + 6 y - 4 z = 0 → 2 ⋅ - 4 + 6 ⋅ 2 - 4 ⋅ 1 = 0 → - 8 + 12 - 4 = 0 → 0 = 0

    Passo 4

  7. Pela soma da letra c) e a) do problema temos a solução geral do sistema:

- 4 λ 2 λ λ + - 1 1 3 0 = - 1 - 4 λ 1 3 + 2 λ λ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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