Enunciado

Obtenha a intersecção da reta r com o plano π .

a) r : X = - 1 ,   - 1 ,   0 + λ 1 ,   - 1 ,   - 1                               π : x + y + z + 1 = 0

b) r : X = - 1 ,   - 1 ,   1 + λ 1 ,   - 1 ,   0                                     π : x + y + z + 1 = 0

c) r : x - 3 = y - 2 = z + 1 2                                                                         π : x + 2 y - z = 1 0

d) r : X = - 1 ,   - 1 ,   0 + λ 1 ,   - 1 ,   0                                       π : 2 x + 2 y + z + 1 = 0

e) r :   x = 2 λ y = λ z = 1 - 3 λ                                                                                                         π :   x = 1 + α y = - 3 + β z = 1 + α + β

Passo 1

a) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de r :

P = - 1 + λ ,   - 1 - λ ,   - λ

Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos λ :

- 1 + λ - 1 - λ - λ + 1 = 0

λ = - 1

Substituindo no ponto P :

P = ( - 2 ,   0 ,   1 )

Passo 2

b) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de r :

P = - 1 + λ ,   - 1 - λ ,   1

Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos λ :

- 1 + λ - 1 - λ + 1 + 1 = 0

0 = 0

Opa, o λ sumiu da nossa equação, mas mesmo assim chegamos em uma igualdade verdadeira 0 = 0 não é?

Isso quer dizer que a reta e o plano se cruzam para todo λ , ou seja, a reta está contida no plano :D

Passo 3

c) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de r :

P = 3 + λ ,   2 + λ ,   - 1 + 2 λ

Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos λ :

3 + λ + 2 ( 2 + λ ) - ( - 1 + 2 λ ) = 10

3 + λ + 4 + 2 λ + 1 - 2 λ = 10

λ = 2

Substituindo no ponto P :

P = 5 ,   4 ,   3

Passo 4

d) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de r :

P = - 1 + λ ,   - 1 - λ ,   0

Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos λ :

2 ( - 1 + λ ) + 2 ( - 1 - λ ) + 0 + 1 = 0

- 2 + 2 λ - 2 - 2 λ + 1 = 0

- 3 = 0

Opa, o λ sumiu da nossa equação de novo, e dessa vez chegamos em uma desigualdade - 3 ≠ 0 !! Isso quer dizer que não existe nenhum λ tal que a reta e o plano se cruzem, ou seja, eles não vão se encontrar nunca!!

Passo 5

e) Vamos igualar os x ' s ,   y ' s e z ' s da reta e do plano:

2 λ = 1 + α λ = - 3 + β 1 - 3 λ = 1 + α + β

2 λ - α = 1 λ - β = - 3 - 3 λ - α - β = 0

Resolvendo esse sistema, encontramos

λ = - 1 3

α = - 5 3

β = 8 3

Substituindo λ na equação de r :

r :   x = - 2 3 y = - 1 3 z = 1 - 3 - 1 3 = 2

Então o ponto em que a reta e o plano se cruzam é P = - 2 3 ,   - 1 3 ,   2 .

Resposta

a) P = ( - 2 ,   0 ,   1 )

b) A reta está contida no plano.

c) P = ( 5 ,   4 ,   3 )

d) A reta nunca cruza o plano.

e) P = - 2 3 ,   - 1 3 ,   2

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