Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,   0 ,   2 + λ   ( 4 ,   1 ,   0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .

Passo 1

Bom, se o plano é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 , o vetor normal n → π = ( 3 ,   1 ,   1 ) do plano π é um vetor diretor u → = ( 3 ,   1 ,   1 ) do plano que queremos achar!

Além disso, como a reta r : X = 1 ,   0 ,   2 + λ   ( 4 ,   1 ,   0 ) está contida no plano, seu vetor diretor v → = ( 4 ,   1 ,   0 ) também é vetor diretor do plano. Como já temos os dois vetores diretores do plano, conseguimos achar seu vetor normal:

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 3 1 1 4 1 0 = 0 - 1 i → + 4 - 0 j → + 3 - 4 k → = - 1 ,   4 ,   - 1

Por simplicidade, vamos usar

n → = ( 1 ,   - 4 ,   1 )

Passo 2

Assim, a equação geral do plano é da forma

x - 4 y + z + d = 0

Agora note que o ponto P = ( 1 ,   0 ,   2 ) pertence ao plano, já que pertence à reta r que está contida no plano! Substituindo essa ponto na equação:

1 - 4 ⋅ 0 + 2 + d = 0 ⇒ d = - 3

Portanto, a equação pedida é

x - 4 y + z - 3 = 0

Resposta

x - 4 y + z - 3 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura 14-9, A B C D E F G H é um cubo. Em cada um dos itens, a equação dada define, em relação ao sistema de coordenadas A , A B → , A D → , A E → , um plano π 1 , e, em relação ao sistema de coor
Na figura 14-9, A B C D E F G H é um cubo. Em cada um dos itens, a equação dada define, em relação ao sistema de coordenadas A , A B → , A D → , A E → , um plano π 1 , e, em relação ao sistema de coor
Na figura 14-9, A B C D E F G H é um cubo. Em cada um dos itens, a equação dada define, em relação ao sistema de coordenadas A , A B → , A D → , A E → , um plano π 1 , e, em relação ao sistema de coor
Na figura 14-9, A B C D E F G H é um cubo. Em cada um dos itens, a equação dada define, em relação ao sistema de coordenadas A , A B → , A D → , A E → , um plano π 1 , e, em relação ao sistema de coor
Representar graficamente os planos de equações: x + y - 3 = 0