Enunciado

Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45 ° , 60 ° e 90 ° ? Justificar.

Passo 1

Vamos analisar os ângulos diretores, em relação aos vetores diretores temos que os cossenos diretores de um vetor v → são os componentes do versor de v → :

v → v → = x , y , z v → = x v → , y v → , z v → = cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ

E como o versor é um vetor unitário, temos que as somas dos quadrados dos ângulos devem ser iguais a um:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 2

Vamos então substituir os ângulos e ver se temos um resultado igual a 1 :

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1 → cos 2 ⁡ 45 ° + cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ 90 ° = 1 →

→ 2 2 2 + 1 2 2 + 0 2 = 1 → 2 4 + 1 4 + 0 = 1 → 3 4 ≠ 1

Nosso resultado deu diferente de 1 , então os ângulos diretores de um vetor não podem ser de 45 ° , 60 ° e 90 ° .

Resposta

Os ângulos diretores de um vetor não podem ser de 45 ° , 60 ° e 90 ° .

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