Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos de abscissa, ordenada e cota iguais a - 3 , 6 e - 5 , respectivamente.

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos três pontos que pertencem ao plano, que são os pontos que interceptam os eixos coordenados:

A = - 3,0 , 0

B = 0,6 , 0

C = 0,0 , - 5

Podemos então encontrar dois vetores no plano, que são simultaneamente ortogonais ao vetor normal n → do plano que queremos achar:

u → = A B → = B - A = 0,6 , 0 - - 3,0 , 0 = 0 + 3,6 - 0,0 - 0 = 3,6 , 0

v → = A C → = C - A = 0,0 , - 5 - - 3,0 , 0 = 0 + 3,0 - 0 , - 5 - 0 = 3,0 , - 5

Passo 3

Agora podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores u → e v → , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

n → = u → × v → = i → j → k → 3 6 0 3 0 - 5 = i → j → k → 3 6 0 3 0 - 5         i → j → 3 6 3 0 = - 30 i → + 0 j → + 0 k → - 18 k → - 0 i → + 15 j → =

= - 30 i → + 15 j → - 18 k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = - 30,15 , - 18

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → - 30 x + 15 y - 18 z + d = 0

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de d , e vamos usar o ponto A - 3,0 , 0 que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

- 30 x + 15 y - 18 z + d = 0 → - 30 ⋅ - 3 + 15 ⋅ 0 - 18 ⋅ 0 + d = 0 →

→ 90 + d = 0 → d = - 90

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano é:

- 30 x + 15 y - 18 z + d = 0 → - 30 x + 15 y - 18 z - 90 = 0 →

→ - 10 x + 5 y - 6 z - 30 = 0

Resposta

- 10 x + 5 y - 6 z - 30 = 0

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