Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano paralelo ao eixo z que intercepta o eixo x em - 3 e o y em 4 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos dois pontos que pertencem ao plano, que são os pontos que interceptam os eixos x e y :

A = - 3,0 , 0

B = 0 , 4 , 0

E como o plano é paralelo ao eixo z temos o vetor diretor u → = 0,0 , 1 desse eixo que é ortogonal ao plano que queremos achar, e podemos então encontrar um vetor no plano, assim esse vetor e o vetor u → = 0,0 , 1 são simultaneamente ortogonais ao vetor normal n → do plano que queremos achar:

v → = A B → = B - A = 0 , 4 , 0 - - 3,0 , 0 = 0 + 3 , 4 - 0,0 - 0 = 3 , 4 , 0

Passo 3

Agora podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores u → e v → , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

n → = u → × v → = i → j → k → 0 0 1 3 4 0 = i → j → k → 0 0 1 3 4 0         i → j → 0 0 3 4 = 0 i → + 3 j → + 0 k → - 0 k → - 4 i → - 0 j → =

= - 4 i → + 3 j →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = - 4 , 3 , 0

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → - 4 x + 3 y + d = 0

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de d , e vamos usar o ponto A - 3,0 , 0 que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

- 4 x + 3 y + d = 0 → - 4 ⋅ - 3 + 3 ⋅ 0 + d = 0 → 12 + d = 0 → d = - 12

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano é:

- 4 x + 3 y + d = 0 → - 4 x + 3 y - 12 = 0

Resposta

- 4 x + 3 y - 12 = 0

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