Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano passa por A - 1,2 , 5 e é perpendicular à interseção dos planos π 1 : 2 x - y + 3 z - 4 = 0 e π 2 : x + 2 y - 4 z + 1 = 0 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos que como o plano e é perpendicular à interseção dos planos π 1 e π 2 , temos que o vetor normal do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos π 1 e π 2 , vamos então achar esses vetores normais:

n 1 → = 2 , - 1,3

n 2 → = 1,2 , - 4

Agora podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores n 1 → e n 2 → , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

n → = u → × v → = i → j → k → 2 - 1 3 1 2 - 4 = i → j → k → 2 - 1 3 1 2 - 4         i → j → 2 - 1 1 2 = 4 i → + 3 j → + 4 k → + k → - 6 i → + 8 j → =

= - 2 i → + 11 j → + 5 k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = - 2 , 11 , 5

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → - 2 x + 11 y + 5 z + d = 0

Passo 3

Só nos falta encontrar o valor de d , e como temos que o plano passa pelo ponto A - 1,2 , 5 , então é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

- 2 x + 11 y + 5 z + d = 0 → - 2 ⋅ - 1 + 11 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 + d = 0 → 2 + 22 + 25 + d = 0 →

→ 49 + d = 0 → d = - 49

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano é:

- 2 x + 11 y + 5 z + d = 0 → - 2 x + 11 y + 5 z - 49 = 0

Resposta

- 2 x + 11 y + 5 z - 49 = 0

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