Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano passa por A 1 , - 3,4 e intercepta os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância à origem do sistema.

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos três pontos que pertencem ao plano, que são os pontos que os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância à origem do sistema:

A = D , 0,0

B = 0 , D , 0

C = 0,0 , D

Vamos então atribuir algum valor para D , vamos usar D = 1 , assim vamos ter:

A = 1 , 0,0

B = 0 , 1 , 0

C = 0,0 , 1

Podemos então encontrar dois vetores no plano, que são simultaneamente ortogonais ao vetor normal n → do plano que queremos achar:

u → = A B → = B - A = 0,1 , 0 - 1,0 , 0 = 0 - 1 , 1 - 0,0 - 0 = - 1 , 1 , 0

v → = A C → = C - A = 0,0 , 1 - 1,0 , 0 = 0 - 1 , 0 - 0 , 1 - 0 = - 1 , 0 , 1

Passo 3

Agora podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores u → e v → , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

n → = u → × v → = i → j → k → - 1 1 0 - 1 0 1 = i → j → k → - 1 1 0 - 1 0 1         i → j → - 1 1 - 1 0 = i → - 0 j → - 0 k → + k → - 0 i → + j → =

= i → + j → + k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = 1 , 1,1

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → x + y + z + d = 0

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de d , e vamos usar o ponto A 1 , - 3,4 que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

x + y + z + d = 0 → 1 - 3 + 4 + d = 0 → 2 + d = 0 → d = - 2

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano é:

x + y + z + d = 0 → x + y + z - 2 = 0

Resposta

x + y + z - 2 = 0

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