Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano passa pela origem e é paralelo às retas r 1 : y = - x , z = 2 e r 2 : x , y , z = 2 , - 1,4 + t 1,3 , - 3 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

Aqui temos que como o plano é paralelo as retas r 1 e r 2 , temos que o vetor normal do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores diretores das retas, vamos então achar esses vetores diretores.

Para a reta r 1 vamos encontrar dois pontos para poder achar o vetor diretor dela, vamos fazer x = 1 e x = 0 :

y = - x = - 1

z = 2

y = - 0 = 0

z = 2

Temos então os pontos A 1 , - 1 , 2 e B 0,0 , 2 , vamos então encontrar o vetor diretor de r 1 da seguinte forma:

u → = A B → = B - A = 0,0 , 2 - 1 , - 2 , 2 = 0 - 1,0 + 1 , 2 - 2 = - 1 , 1 , 0

Para a reta r 2 podemos tirar o vetor diretor direto da equação da reta:

v → = 1,3 , - 3

Passo 3

Assim podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores u → e v → , já que esses vetores são simultaneamente ortogonais ao vetor normal do plano:

n → = u → × v → = i → j → k → - 1 1 0 1 3 - 3 = i → j → k → - 1 1 0 1 3 - 3         i → j → - 1 1 1 3 = - 3 i → + 0 j → - 3 k → - k → - 0 i → - 3 j → =

= - 3 i → - 3 j → - 4 k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = - 3 , - 3 , - 4

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → - 3 x - 3 y - 4 z + d = 0

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de d , e como temos que o plano passa pela origem temos o ponto 0 , 0 , 0 , então é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

- 3 x - 3 y - 4 z + d = 0 → - 3 ⋅ 0 - 3 ⋅ 0 - 4 ⋅ 0 + d = 0 → d = 0

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano é:

- 3 x - 3 y - 4 z + d = 0 → - 3 x - 3 y - 4 z = 0

Resposta

- 3 x - 3 y - 4 z = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço dos seguintes planos: f) 5y – 2 = 0.
Faça um esboço dos seguintes planos: g) 3z – 2 = 0.
Dadas as retas r: x - 2 2 = y 2 = z e s: x-2 = y = z,obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.
Determine k de modo que o ponto ( 3,1 , k ) pertença ao plano determinado por A=( 1,1 , 2 ) , B=( 3,0 , 2 ) e C=( 4,1 , 3 ) .
Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelas retas x - 1 3= y + 2 5 = z + 6 13 e x - 4 9= y - 3 5 = z - 7 4 .