Enunciado

Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π :

r : x = 2 - 2 t , y = - 1 - t , z = 3 e π : 2 m x - n y - z + 4 = 0

Passo 1

Vamos lá, se uma reta está contida em um plano, temos que o produto escalar do vetor diretor v → da reta com o vetor normal n → do plano deve ser igual a zero:

v → ⋅ n → = 0

Pronto, vamos tirar algumas informações da reta analisando o formato da equação da reta:

r : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta, assim o vetor diretor da reta r é:

v → = - 2 , - 1,0

Passo 2

Agora vamos encontrar o vetor normal do plano, temos que o formato da equação geral de um plano é:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano, assim temos que o vetor normal do plano π é:

n → = 2 m , - n , - 1

Vamos então calcular o produto escalar:

v → ⋅ n → = 0 → - 2 , - 1,0 ⋅ 2 m , - n , - 1 = 0 → - 4 m + n = 0

Aqui temos uma equação com duas incógnitas, não dá pra resolver, mas aqui temos uma outra informação da reta, o ponto A x 1 , y 1 , z 1 da reta está contido também no plano, então vamos substituir esse ponto 2 , - 1 , 3 na equação do plano:

2 m x - n y - z + 4 = 0 → 2 m ⋅ 2 - n ⋅ - 1 - 3 + 4 = 0 → 4 m + n + 1 = 0

Passo 3

Agora temos duas equações com duas incógnitas:

- 4 m + n = 0

4 m + n + 1 = 0

Vamos então isolar n na primeria e substituir na segunda:

- 4 m + n = 0 → n = 4 m

Agora substituindo:

4 m + n + 1 = 0 → 4 m + 4 m + 1 = 0 → 8 m = - 1 → m = - 1 8

Pronto, achamos o valor de m , e agora vamos encontrar o valor de n :

n = 4 m = 4 ⋅ - 1 8 = - 1 2

Resposta

m = - 1 8 e n = - 1 2

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Identifique geometricamente os seguintes conjuntos: I={ ( x ,y ,z )∈R 3;x-z 2+y-z 2 ≤1 }
Identifique geometricamente os seguintes conjuntos: H={ ( x ,y ,z )∈R 3;x 2+y 2=z 2}
Escreva sob a forma a x + b y + c z = d a equação do plano que passa pelo ponto A = - 7,2 , 5 e ´e paralelo aos vetores U = 3,2 , 4 e V = ( 1,0 , 4 ) .
Seja t v = π → π uma translação do plano π . Se t v A = A ' ,t v B = B ' e t v C = C ' , prove que os ângulos B Â C e B ' Â ' C ' Â Â têm mesma medida.
Faça um esboço dos seguintes planos: h) 2x – 1 = 0.