Enunciado

Apresentar uma equação geral dos planos em que:

O plano passa por A - 1,2 , - 4 e é perpendicular aos planos π 1 : x + z = 2 e π 2 : y - z = 0 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações dos planos.

Passo 2

O vetor normal n → do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos π 1 e π 2 , podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor normal de π 1 e de π 2 :

n → = n 1 → × n 2 →

Temos que os vetores normais de π 1 e de π 2 são:

n 1 → = 1,0 , 1

n 2 → = 0,1 , - 1

Pronto, podemos então achar o vetor normal n → .

Passo 3

Agora que temos os vetores normais podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:

n → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 0 1 0 1 - 1 = i → j → k → 1 0 1 0 1 - 1         i → j → 1 0 0 1 = - 0 i → + 0 j → + k → - 0 k → - i → + j → =

= - i → + j → + k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = - 1,1 , 1

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → - x + y + z + d = 0

Passo 4

Só nos falta encontrar o valor de d , e vamos usar o ponto A - 1,2 , - 4 que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

- x + y + z + d = 0 → - - 1 + 2 - 4 + d = 0 → 1 + 2 - 4 + d = 0 →

→ - 1 + d = 0 → d = 1

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano que passa por A - 1,2 , - 4 e é perpendicular aos planos π 1 e π 2 é:

- x + y + z + 1 = 0

Resposta

- x + y + z + 1 = 0

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Determine a equação do plano que passa pelo ponto 6 ,3 ,2 e é perpendicular ao vetor 2 ,1 ,5 .
Determine a equação do plano que passa pelo ponto - 1,6 , - 5 e é paralelo ao plano x + y + z + 2 = 0
Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 1 , - 1,1 ) e cujo vetor normal é i + j - k .
O plano que passa pelo ponto ( - 1,2 , 1 ) e contém a reta intersecção dos planos x + y - z = 2 e 2 x - y + 3 z = 1 .
O plano que passa pela reta intersecção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .