Enunciado

As bases E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 são tais que e → i é paralelo a f → i , i = 1 ,   2 ,   3 . Verifique se essas bases são concordantes ou não, nos casos em que:

a) e → 1 e f → 1 são de mesmo sentido, e → 3 e f → 3 também, mas e → 2 e f → 2 são de sentido contrário;

b) e → i e f → i são de mesmo sentido, i = 1 ,   2 ,   3 .

c) e → i e f → i são de sentido contrário, i = 1 ,   2 ,   3 .

d) e → 1 e f → 1 são de sentido contrário, e → 2 e f → 2 também, mas e → 3 e f → 3 são de mesmo sentido.

Passo 1

Bom, nesse problema, os vetores e → i são sempre paralelos aos vetores f → i . Queremos saber, em cada caso, se as bases E e F são concordantes ou discordantes. Para isso, partimos do princípio que se todos os pares e → i e f → i têm mesmo sentido, as bases serão concordantes e a cada permutação de sentido de um dos pares essa relação é trocada.

No item (a), apenas um dos pares tem essa relação invertida, o par com i = 2 . Assim, como houve apenas uma permutação, as bases são discordantes nesse caso.

Passo 2

Já no item (b), todos tem o mesmo sentido, de modo que as bases são concordantes.

Passo 3

No item (c), todos os pares têm sentidos contrários. Assim, foram três permutações. Com uma parmutação as bases se tornam discordantes, com duas elas voltam a ser concordantes e com três elas terminam discordantes. Portanto, nesse caso elas são discordantes!

Passo 4

Por fim, no item (d), para i = 1 e i = 2 o sentido é contrário, enquanto para i = 3 é o mesmo sentido. Sendo assim, temos dois pares permutados, de modo que as bases são concordantes!

Resposta

Concordantes: (b) e (d).

Discordantes: (a) e (c).

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