Enunciado

Seja W o plano x   +   2 y   + 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .

Passo 1

Oiie, tudo certinho? Vamos começar?

A primeira coisa aqui é notar que temos apenas uma equação, mas para determinar os três vetores, é necessário estabelecer três parâmetros. Nesta situação é conveniente para nós escolhermos um valor arbitrário para dois deles, no caso:

z   =   α   e   y   =   β           ( 1 )

Se usar (1) na equação do plano, você obtém para x o seguinte:

x   +   2 β + 4 α = 0   → x =   - 2 β - 4 α           ( 2 )

Ou seja, para qualquer valor que escolhermos de α   e   β , temos que os pontos em nosso plano respeitam a seguinte expressão:

( x , y , z ) = ( - 2 β - 4 α ,   β ,   α )           ( 3 )

Vamos ver como isso serve para encontrarmos os nossos vetores de base, beleza?

Passo 2

Um elemento qualquer de W , tal como a equação (3), pode ser escrito como uma combinação linear de vetores. Aqui está o pulo do gato, se temos 2 parâmetros livres, vamos escrever a equação (3) em termos de dois vetores, relacionados a cada parâmetro, olha só:

( x , y , z )   =   α ( - 4,0 , 1 ) + β ( - 2,1 , 0 ) → ( x , y , z )   =   α V 1 + β V 2           ( 4 )

Identificando V 1   =   ( - 4,0 , 1 ) e V 2 = ( - 2,1 , 0 ) . Eles serão uma base do R 2 se forem linearmente independentes, beleza? Vamos checar isso!

Passo 3

Estes vetores são linearmente independentes se considerando o seguinte:

x 1 ( - 4,0 , 1 ) + x 2 ( - 2,1 , 0 ) = 0

A única solução possível é se x 1 = x 2 = 0 . E isso é verdade, olha só, V 2 tem componente z nulo e V 1 tem um componente não nulo em z , isso já é o suficiente! Portanto V 1   e   V 2 formam uma base em R 2 para o nosso plano, mas precisamos de um terceiro vetor de base para que tenhamos uma base no R 3 , vamos procurar isso!

Passo 4

Um vetor que não pertença ao plano é um vetor tal que a   +   2 b   + 4 c ≠ 0 , em que V 3 = ( a , b , c ) . Aqui por exemplo poderíamos ter um vetor do tipo V 3 = ( 1,0 , 0 ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima, Tchauzinho!

Resposta

{ V 1 , V 2 , V 3 } = { ( - 4,0 , 1 ) , ( - 2,1 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) }

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