Enunciado

Dê exemplo de:

a ) Três vetores V 1 , V 2 e V 3 , sendo { V 1 } L.I., { V 2 , V 3 } L. I., V 2 e V 3 não são múltiplos de V 1 e { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Saca só, de cara tenho que indicar que falta uma pequena informação neste enunciado. V 1 é linearmente independente com quem? Temos duas possibilidades aqui, ou { V 1 , V 2 } são L.I. ou { V 1 , V 3 } são L.I., no entanto, se escolhermos a primeira possibilidade { V 1 , V 2 , V 3 } serão linearmente independentes, já que V 1 é L.I com V 2 que é L.I. com V 3 . Portanto , vamos considerar a opção { V 1 , V 3 } são L.I. Beleza, continuando…

Vamos tentar propor exemplos fáceis das condições acima, beleza?

Passo 2

A primeira coisa que eu definiria são os seguintes vetores:

{ V 1 , V 2 } = { ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) }

Ambos estes vetores permitem apenas a solução trivial ( x 1 = x 2 = 0 )para:

x 1 V 1 + x 2 V 2 = 0 ̄

Portanto, são linearmente independentes! Beleza, temos nossos dois primeiros vetores. Agora preciso escolher um terceiro que seja L.I com V 2 mas que não seja múltiplo de V 1 e ainda assim garanta que { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D. Bora lá!

Passo 3

Se queremos que { V 1 , V 2 , V 3 } sejam L.D., temos que a seguinte relação deve ter uma solução não trivial ( x 1 ≠ x 2 ≠ x 3 ,   e m   g e r a l ,   p o d e   s e r   q u e   u m   d e l e s   s e j a   i g u a l   a o   o u t r o   o u   n ã o ) :

x 1 V 1 + x 2 V 2 + x 3 V 3 = 0 ̄           ( 1 )

Se supormos um terceiro vetor arbitrário da forma:

V 3 = ( a , b , c )

Podemos escrever a seguinte matriz:

Vamos analisar algumas condições sobre os três parâmetros, belezinha?

Passo 4

De cara, temos que se c ≠ 0 , o sistema seria linearmente independente, já que não poderíamos eliminar este componente com V 1 e V 2 na equação (1), portanto temos que é necessário que c = 0 . Temos que b ≠ 0 para que V 3 não seja proporcional à V 1 , e como c = 0 e que b ≠ 0 , também é necessário que a ≠ 0 para que { V 2 , V 3 } sejam L.I., vamos tentar chutar algo usando estas condições! E se a = b = - 1 , temos o seguinte:

Note que:

x 1 ( 1,0 , 0 ) + x 2 ( 0,1 , 0 ) + x 3 ( - 1 , - 1,0 ) = 0 ̄

tem solução não-trivial se:

x 1 = x 2 = x 3 = α  

Onde α é qualquer número real, portanto, o sistema é linearmente independente! Essa foi a primeira alternativa, te vejo jajá!

Resposta

{ V 1 , V 2 , V 3 } = { ( 1,0 , 0 , ) , ( 0,1 , 0 ) , ( - 1 , - 1 , ) }

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