Enunciado

Em cada caso, decomponha v → como soma de dois vetores p → e q → , de modo que p → seja paralelo e q → seja ortogonal a u → .

a) v → = ( - 1 ,   - 3 ,   2 ) , u → = ( 0 ,   1 ,   3 ) .

b) v → = ( 0 ,   1 ,   2 ) , u → = ( 0 ,   - 1 ,   - 2 ) .

c) v → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , u → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) .

Passo 1

Como p → deve ser paralelo a u → , ele deve ser a projeção de v → sobre u → :

p → = p r o j u →   v → = v → ⋅ u → u → 2   u →

Enquanto isso, como v → = p → + q → , temos que

q → = v → - p →

No item (a), temos que

p → = p r o j u →   v → = 0 - 3 + 6 0 + 1 + 9   0 ,   1 ,   3 = 3 10   0 ,   1 ,   3 = 0 , 3 10 , 9 10

Portanto,

q → = - 1 ,   - 3 ,   2 - 0 , 3 10 , 9 10 = - 1 ,   - 33 10 , 11 10

Passo 2

No item (b), temos que

p → = p r o j u →   v → = 0 - 1 - 4 0 + 1 + 4   0 ,   - 1 ,   - 2 = - ( 0 ,   - 1 ,   - 2 ) = ( 0 ,   1 ,   2 )

Portanto,

q → = 0 ,   1 ,   2 - ( 0 ,   1 ,   2 ) = 0 ,   0 ,   0

Passo 3

Por fim, no item (c), temos que

p → = p r o j u →   v → = 2 - 2 + 0 0 + 1 + 4   2 ,   - 1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Portanto,

q → = 1 ,   2 ,   - 1 - ( 0 ,   0 ,   0 ) = 1 ,   2 ,   - 1

Resposta

0 , 3 10 , 9 10             e           - 1 ,   - 33 10 , 11 10

0 ,   1 ,   2             e             ( 0 ,   0 ,   0 )

0 ,   0 ,   0           e               1 ,   2 ,   - 1

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A Figura 9-5 (b), as arestas A B , A C e A D do tetraedro A B C D medem, respectivamente, 2 , 3 e 4 ; os ângulos B Â C Â , C Â D Â e D Â B Â mede, respectivamente, 90 ° , 60 ° e 60 ° ; M é ponto médio
Sejam u → ≠ 0 → e v → paralelo a u → . Prove que se w → é ortogonal a u → e x → = v → + w → , então p r o j u →x → = v → .
Calcule a projeção ortogonal de v → sobre u → em cada caso.a) v → = ( 1 ,- 1 ,2 ) , u → = ( 3 ,- 1 ,1 ) .b) v → = ( - 1 ,1 ,1 ) , u → = ( - 2 ,1 ,2 ) .c) v → = ( 1 ,3 ,5 ) , u → = ( - 3 ,1 ,0 ) .d) v
Seja B = i → ,j → ,k → a base ortonormal obtida da base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt. A matriz de mudança de E para B tem um aspecto muit especial. Descrev