Enunciado

Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de intersecção.

c) r : x = 2 - 4 λ y = 4 + 5 λ z = 1 1                             s : x 2 = y - 1 - 2 = z

Passo 1

O primeiro passo é escrevermos equações paramétricas para s , que são dadas por:

s : x = 2 μ y = 1 - 2 μ z = μ

Agora vamos igualar as coordenadas de r e s , ou seja, igualar x com x , y com y e z com z . Teremos o sistema:

2 - 4 λ = 2 μ 4 + 5 λ = 1 - 2 μ 11 = μ

4 λ + 2 μ = 2 5 λ + 2 μ = - 3 μ = 11

Passo 2

Da terceira, equação, temos

μ = 11

Substituindo na primeira equação:

4 λ + 22 = 2

4 λ = - 20

λ = - 20 4 = - 5

Substituindo λ e μ na segunda equação:

5 - 5 + 2 . 11 = - 3

- 3 = - 3

Entãooo, realmente os valores que encontramos para λ e μ equivalem pra igualdade das nossas retas, uhuu, então as retas são concorrentes.

Passo 3

Pra encontrarmos onde as retas se cruzam, vamos substituir λ em r ou μ em s .

Substituindo μ em s :

s : x = 2 . 11 = 22 y = 1 - 2 . 11 = - 21 z = μ = 11

Então o ponto onde as retas se cruzam é P = ( 22 ,   - 21 ,   11 )

Resposta

c) P = ( 22 ,   - 21 ,   11 )

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Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do planoa) 4 x + 2 y - z + 5 = 0
Mostre que o ponto P = ( 4 ,1 ,- 1 ) não pertence à reta r : X = 2 ,4 ,1 + λ ( 1 ,- 1 ,2 ) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .
Obtenha os pontos de r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 2 ,0 ,1 ) que pertencem ao plano π , nos casos:a) π : x - y - z = 0
Obtenha os pontos de r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 2 ,0 ,1 ) que pertencem ao plano π , nos casos:b) π : x + 3 y - 2 z = 0
Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:b) x = 1 + λ y = 2 z = 3 - λ + μ