Enunciado

Em cada caso, é descrita uma alteração efetuada na tripla LI ( u → ,   v → ,   w → ) . Baseando-se na sua intuição, dê um palpite: a sequência obtida após a alteração é também LI? Em seguida, tente provar que seu palpite está correto.

a) Multiplica-se cada um dos três vetores por um escalar α .

b) Substitui-se cada um dos três vetores pela soma dos outros dois.

c) Soma-se a cada um dos três vetores um mesmo vetor t → .

d) Somam-se a u → ,   v → e w → , respectivamente, os vetores LI a → ,   b → e c → .

Passo 1

Bora lá analisar cada uma das afirmativas:

a) Se multiplicarmos os vetores por um escalar α ≠ 0 , teremos a sequência ( u → ' ,   v → ' ,   w → ' ) . Porém, sabemos que um vetor multiplicado por um escalar continua sendo paralelo ao seu vetor original não é? Então, o vetor u → ' permanece na mesma direção de u → , v → ' com v → e w → ' com w → , logo, os vetores continuam sendo LI.

Mas se multiplicarmos por α = 0 , vamos ter a tripla { 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 } , que é LD.

Passo 2

b) Sim.

Para que ( v → + w → ,   u → + w → ,   u → + v → ) seja LI, temos o sistema:

α v → + w → + β u → + w → + γ u → + v → = ( 0 ,   0 ,   0 )

Onde devemos ter α = β = γ = 0

α v → + α w → + β u → + β w → + γ u → + γ v → = ( 0 ,   0 ,   0 )

Agrupando os termos:

u → β + γ + v → α + γ + w → α + β = ( 0 ,   0 ,   0 )

Como ( u → ,   v → ,   w → ) é LI, temos o sistema:

β + γ = 0 α + γ = 0 α + β = 0

Cuja única solução é α = β = γ = 0 . Logo, o conjunto ( v → + w → ,   u → + w → ,   u → + v → ) é LI também!!

Passo 3

c) Não necessariamente a nova sequência vai ser LI. Teríamos ( u → + t → ,   v → + t → ,   w → + t → ) , mas nada nos garante que ao somarmos um vetor t → nos vetores que tínhamos, o resultado não vá ser coplanar, e portanto, LD. No próximo exercício vamos fazer um caso desse beleza?

Passo 4

d) Não necessariamente. Vamos imaginar que esses tais de vetores LI sejam a → = u → ,   b → = - v → ,   c → = w → , são vetores LI de acordo com o enunciado né? A diferença é que mudamos o sentido de v → . Ta, mas aí somando eles na nossa sequência, teríamos:

( u → + u → ,   v → - v → ,   w → + w → )

( 2 u → ,   0 → ,   2 w → )

Opa, temos um vetor nulo aí no meio :O então a sequência se tornou LD, olha que coisa!!

Resposta

a) Se α ≠ 0 , sim.

b) Sim

c) Nem sempre

d) Nem sempre

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Prove que a soma dos vetores com origem no centro de um polígono regular e extremidade nos vértices desse polígono é igual a zero.
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: c) Nenhum dos vetores u e v é múltiplo do outro.
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: e) Todo vetor do plano é combinação linear de uev .
No trapézio ao lado, D C → = 1 3 A B → , A N → = 1 3 A D → , A M → = 3 4 A B → e C F → = α C N → . Determine α .
No triângulo ABC, C A → = a → e C B → = b → ; X é tal que X B → = 3 A X → e Y é tal que 3 Y C → = 2 Y B → . Coloque X e Y na figura, em posição correta, fazendo os cálculos necessários.Escreva C X → ,