Enunciado

Determine Q , projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r , nos casos

P é o ortocentro do triângulo de vértices A = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , B = ( 1 ,   - 2 ,   0 ) e C = ( 12 ,   6 ,   - 1 ) e r é a reta determinada por M = ( - 2 ,   6 ,   10 ) e N = ( 0 ,   4 ,   7 ) .

Passo 1

O problema quer que achemos a projeção ortogonal de P sobre a reta r . O problema é que aqui não temos nem o ponto P nem a reta r ...

Vamos olhar primeiro para a reta. Ela deve passar nos pontos M = ( - 2 ,   6 ,   10 ) e N = ( 0 ,   4 ,   7 ) , de modo que seu vetor diretor é

u → = M N → = N - M = ( 2 ,   - 2 ,   - 3 )

Assim, uma equação vetorial para ela é

r : X = - 2 ,   6 ,   10 + λ   ( 2 ,   - 2 ,   - 3 )

Passo 2

Agora vamos procurar o ponto P que é o ortocentro do triângulo de vértices A = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , B = ( 1 ,   - 2 ,   0 ) e C = ( 12 ,   6 ,   - 1 ) . Vale lembrar que o ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo:

Assim, temos que achar as equações das retas A F e B E e, daí, procurar sua interseção. O ponto E é a projeção ortogonal de B sobre a reta A C , cujo vetor diretor é

A C → = C - A = ( 10 ,   5 ,   0 )

Por simplicidade, vamos usar ( 2 ,   1 ,   0 ) , de modo que uma equação para a reta A C é

X = 2 ,   1 ,   - 1 + μ   2 ,   1 ,   0

Assim, o ponto E é do tipo

E = ( 2 + 2 μ ,   1 + μ ,   - 1 )

Para que E seja a projeção ortogonal de B sobre A C , devemos ter   B E → ⊥ A C → . Assim, como

B E → = E - B = ( 1 + 2 μ ,   3 + μ ,   - 1 )

Temos que

1 + 2 μ ,   3 + μ ,   - 1 ⋅ 2 ,   1 ,   0 = 0 ⇒ 2 + 4 μ + 3 + μ = 0 ⇒ μ = - 1

Logo,

E = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Passo 3

Vamos seguir o mesmo raciocínio para achar F , que será a projeção ortogonal de A sobre B C . O vetor diretor da reta B C é

B C → = C - B = ( 11 ,   8 ,   - 1 )

Assim, a equação da reta é

X = 1 ,   - 2 ,   0 + μ   ( 11 ,   8 ,   - 1 )

Como o ponto F está nessa reta, ele é do tipo

F = 1 + 11 μ ,   - 2 + 8 μ ,   - μ

Devemos ter   A F → ⊥ B C → . Como

A F → = F - A = ( 11 μ - 1 ,   8 μ - 3 ,   1 - μ )

Temos

11 μ - 1 ,   8 μ - 3 ,   1 - μ ⋅ 11 ,   8 ,   - 1 = 0

Logo,

121 μ - 11 + 64 μ - 24 - 1 + μ = 0 ⇒ 186 μ = 36 ⇒ μ = 36 186 = 18 93 = 6 31

Portanto,

F = 97 31 , - 14 31 ,   - 6 31

Passo 4

Agora vamos achar as retas A F e B E . Primeiro a reta B E :

B E → = E - B = 0 ,   0 ,   - 1 - 1 ,   - 2 ,   0 = ( - 1 ,   2 ,   - 1 )

Assim, a equação da reta é

X = 0 ,   0 ,   - 1 + μ   - 1 ,   2 ,   - 1 = ( - μ ,   2 μ ,   - 1 - μ )

Já para a reta A F :

A F → = 97 31 , - 14 31 ,   - 6 31 - 2 ,   1 ,   - 1 = 35 31 ,   - 4 5 31 , 25 31 = 5 31   ( 7 ,   - 9 ,   5 )

Portanto, uma equação para essa reta é

X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ   7 ,   - 9 ,   5 = ( 2 + 7 λ ,   1 - 9 λ ,   - 1 + 5 λ )

Como queremos achar o ponto de encontro das retas, igualamos as equações:

- μ ,   2 μ ,   - 1 - μ = ( 2 + 7 λ ,   1 - 9 λ ,   - 1 + 5 λ )

Assim,

- μ = 2 + 7 λ 2 μ = 1 - 9 λ - 1 - μ = - 1 + 5 λ

Da primeira equação:

μ = - 2 - 7 λ

Substituindo na segunda:

- 4 - 14 λ = 1 - 9 λ ⇒ λ = - 1 ⇒ μ = 5

Assim, o ponto de encotro das retas é

P = ( - 5 ,   10 ,   - 6 )

Esse é o ortocentro!

Passo 5

Agora finalmente podemos terminar o problema: queremos achar a projeção de P = ( - 5 ,   10 ,   - 6 ) sobre a reta r de equação

X = - 2 ,   6 ,   10 + λ   ( 2 ,   - 2 ,   - 3 )

O ponto Q procurado está sobre a reta, de modo que ele deve ser da forma

Q = ( - 2 + 2 λ ,   6 - 2 λ ,   10 - 3 λ )

Para que ele seja a projeção ortogonal de P , devemos ter

P Q → ⋅ 2 ,   - 2 ,   - 3 = 0

Como   P Q → = ( 3 + 2 λ ,   - 4 - 2 λ ,   16 - 3 λ ) , temos

3 + 2 λ ,   - 4 - 2 λ ,   16 - 3 λ ⋅ 2 ,   - 2 ,   - 3 = 0

Portanto,

6 + 4 λ + 8 + 4 λ - 48 + 9 λ = 0 ⇒ 17 λ = 34 ⇒ λ = 2

Logo,

Q = ( 2 ,   2 ,   4 )

Resposta

Q = ( 2 ,   2 ,   4 )

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Ache uma equação da reta que satisfaz as condições: passa pelo ponto (1, 4) e é paralela à reta cuja equação é 2 x + 5 y + 7 = 0 .
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Determine, através das inclinações, se os três pontos são colineares: (4,6), (1, 2), (-5, -4).