Enunciado

Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,   - 3 2 , 1 2 B ,   v → = 6 ,   - 2 ,   - 4 B e w → = 1 7 , 2 7 , 3 7 B .

Calcule ( u → ∧ v → ) ∧ w → e u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente e, depois, utilizando [11-12].

Passo 1

Vamos começar calculando ( u → ∧ v → ) ∧ w → diretamente. Pra começar, vamos calcular u → ∧ v → :

u → ∧ v → = i ^ j ^ k ^ 1 - 3 2 1 2 6 - 2 - 4 = ( 7 ,   7 ,   7 )

Agora vamos fazer o produto vetorial de ( 7 ,   7 ,   7 ) com   w → :

7 ,   7 ,   7 ∧ v → = i ^ j ^ k ^ 7 7 7 1 7 2 7 3 7 = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Então, calculando ( u → ∧ v → ) ∧ w → diretamente, chegamos em ( 1 ,   - 2 ,   1 ) :)

Passo 2

Agora vamos calcular ( u → ∧ v → ) ∧ w → utilizando [11-12], que diz que u → ∧ v → ∧ w → = - v → . w → u → + ( u → . w → ) v → , assim:

u → ∧ v → ∧ w → = - 6 ,   - 2 ,   - 4 . 1 7 , 2 7 , 3 7 . 1 ,   - 3 2 , 1 2 + 1 ,   - 3 2 , 1 2 . 1 7 , 2 7 , 3 7 ( 6 ,   - 2 ,   - 4 )

Calculando os produtos escalares:

u → ∧ v → ∧ w → = - 6 7 - 4 7 - 12 7 . 1 ,   - 3 2 , 1 2 + 1 7 - 6 14 + 3 14 ( 6 ,   - 2 ,   - 4 )

u → ∧ v → ∧ w → = - - 10 7 . 1 ,   - 3 2 , 1 2 + - 1 14 ( 6 ,   - 2 ,   - 4 )

u → ∧ v → ∧ w → = 10 7 . 1 ,   - 3 2 , 1 2 - 1 14 ( 6 ,   - 2 ,   - 4 )

Agora, vamos multiplicar os vetores pelos escalares:

u → ∧ v → ∧ w → = 10 7 ,   - 30 14 , 10 14 - 6 14 ,   2 14 ,   4 14

Por fim, somando os vetores, chegamos em

u → ∧ v → ∧ w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

O mesmo resultado do que calculando diretamente, como esperado :D

Passo 3

Agora vamos calcular u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente. Pra começar, vamos calcular v → ∧ w → :

v → ∧ w → = i ^ j ^ k ^ 6 - 2 - 4 1 7 2 7 3 7 = 2 7 ,   - 22 7 ,   2

Agora vamos fazer o produto vetorial de u → com 2 7 ,   - 22 7 ,   2 :

u → ∧ 2 7 ,   - 22 7 ,   2 = i ^ j ^ k ^ 1 - 3 2 1 2 2 7 - 22 7 2 = - 10 7 , - 13 7 ,   - 19 7

Então, calculando u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente, chegamos em - 10 7 , - 13 7 ,   - 19 7 :)

Passo 4

Agora vamos calcular u → ∧ ( v → ∧ w → ) utilizando [11-12], que diz que u → ∧ v → ∧ w → = u → . w → v → - ( u → . v → ) w → , assim:

u → ∧ v → ∧ w → = 1 ,   - 3 2 , 1 2 . 1 7 , 2 7 , 3 7 . 6 ,   - 2 ,   - 4 - 1 ,   - 3 2 , 1 2 . 6 ,   - 2 ,   - 4 1 7 , 2 7 , 3 7

Calculando os produtos escalares:

u → ∧ v → ∧ w → = - 1 14 . 6 ,   - 2 ,   - 4 - 7 1 7 , 2 7 , 3 7

u → ∧ v → ∧ w → = - 1 14 . 6 ,   - 2 ,   - 4 - 7 1 7 , 2 7 , 3 7

Agora, vamos multiplicar os vetores pelos escalares:

u → ∧ v → ∧ w → = - 6 14 , 2 14 , 4 14 - 1 , 2 , 3

Por fim, somando os vetores, chegamos em

u → ∧ v → ∧ w → = - 10 7 , - 13 7 , - 19 7

O mesmo resultado do que calculando diretamente, como esperado :D

Resposta

u → ∧ v → ∧ w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

u → ∧ v → ∧ w → = - 10 7 , - 13 7 , - 19 7

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