Enunciado

Em cada caso, escreva desigualdades que caracterizem os pontos da região focal.

a   E : x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

b   H : - x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

c   P : y 2 = - m x   m > 0

d   P : x 2 = m y   m > 0

e   P : x 2 = - m y   m > 0

Passo 1

Primeiro de tudo, devemos indicar o que é uma região focal em uma parábola e em uma hipérbole. Para isso, vamos utilizar como referência as imagens 22 - 15   b   e   22 - 16 que são as seguintes

Teremos, então, que para a parábola, a região focal será dada por P 1 enquanto que para a hipérbole a região focal será a união de R 1   e   R 2 .

Passo 2

Sendo assim, nosso problema fica simplificado pois a caracterização de cada uma dessas regiões em um dado modelo de hipérbole e parábola já é feita no livro, aqui vamos generalizar um pouco esse resultado. Assim, para x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 temos que a região que caracteriza R 1 ∪ R 2 é a seguinte

x 2 b 2 + y 2 a 2 < 1  

Essa região contém todos os pontos da união que desejamos e para mostrarmos isso, basta tomarmos um ponto na região R 0 e vemos que para todo ponto nessa região teremos x < x 0 , por exemplo. Consequentemente teremos que a desigualdade relacionada com essa área será exatamente o contrário dá que tem a região de união desejada por nós.

Passo 3

De forma análoga ao que tivemos no passo anterior com a ressalva de que agora temos um outro ‘padrão’ de hipérbole vamos ter que a região dada será

- x 2 b 2 + y 2 a 2 > 1

Passo 4

Agora, estamos trabalhando com parábolas, no entanto, a forma de análise para encontrarmos a região que caracteriza a região focal das nossas parábolas será a mesma: pegaremos um ponto P = x , y 0   o u   P = x 0 , y e compararemos com um ponto pertencendo a parábola e para verificar a desigualdade dependendo de cada caso. Sendo assim, vamos ter para a primeira parábola

y 2 < - m x

Esse resultado é demonstrado na definição 22-1 do livro.

Passo 5

Da mesma forma, para a outra parábola vamos ter que a condição necessária para estarmos na região focal da parábola é se tivermos x 2 < m y .

Passo 6

Por fim, para nossa última parábola vamos ter uma região igual a do item anterior com a diferença que temos o sinal de menos acompanhando o m y . Então, temos x 2 < - m y .

Resposta

a x 2 b 2 + y 2 a 2 < 1  

b - x 2 b 2 + y 2 a 2 > 1

c

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