Enunciado

Uma partícula desloca-se ao longo da parábola P : y 2 = 4 p x   ( p > 0 ) , e sua velocidade em cada ponto ( h , k ) é igual ao vetor tangente t → = ( k , 2 p ) nesse ponto,

(a) Quais são os valores máximo e mínimo da velocidade escalar da partícula, e em que portos esses valores são atingidos?

(b) Sejam O , A e B os vértices do triângulo fundamental da parábola. Calcule o tempo necessário para que a partícula se desloque de A até B

(c) Calcule o tempo gasto pela partícula para se deslocar de M   =   ( m , - 2 p m ) até N = n , 2 p n

Passo 1

No vértice ( 0,0 ) o vetor velocidade será:

t → = ( 0,2 p )

Portanto seu escalar terá valor de 2 p , e a medida que x   aumenta o módulo de k tende a aumentar de modo que o valor velocidade fique:

t → = 2 p x , 2 p

Fazendo x   tender ao infinito nós vemos que t tende a infinito também, portanto não há uma valor máximo para a velocidade escalar dessa partícula, somente o mínimo que está no vértice.

Passo 2

Só pra relembrar o triângulo fundamental da parábola é um triângulo isósceles de base igual a amplitude focal (seu comprimento é sempre igual a 4 p ) e altura igual a p .

A velocidade média dessa partícula na trajetória da letra b é de 2 p (algo como a velocidade horizontal na parte de cima se anula com a velocidade horizontal da parte de baixo da parábola) portanto o tempo será:

v = s t → t = s v = 4 p 2 p = 2

Passo 3

Considerando apenas a velocidade vertical da partícula (como se a horizontal continuasse se anulando) nós temos que a variação do deslocamento da partícula Δ y = y N - y M será:

Δ y = 2 p n - - 2 p m

Como a velocidade em y é constante então o cálculo total do tempo será:

t = s v = - 2 p n + 2 p m 2 p = p p m + n = m + n p

Resposta

a )   m í n i m o = 2 p ,   n a   o r i g e m ; m á x i m o : n ã o   h á

b )   2

c )   m + n p

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Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.10) x = - y 2 8
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.16) vértice: V ( 0 ,0 ) ; simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P ( 2 ,- 3 )
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.22) foco: F ( 4 ,- 5 ) ; diretriz d : y = 1
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.20) vértice: V ( 4 ,1 ) ; diretriz d : y + 3 = 0
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.26) vértice: V ( - 2 ,3 ) ; eixo x + 2 = 0 , passando pelo ponto P ( 2 ,0 )