Enunciado

Em cada parte calcule a expressão, supondo que u * (v xx w) = 3

c ) w * (u xx v)

Passo 1

Nessa questão, vamos usar parte do Teoream 3.5.5 que diz que o produto misto é igual ao determinante da matriz formada pelos três vetores

u * (v xx w) = |[[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]|

Passo 2

Como u * (v xx w) = |[[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]| = 3

Montaremos a matriz do produto misto u * (w xx v)

w * (u xx v) = |[[w_1,w_2,w_3],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]|

Passo 3

Como u * (w xx v) = |[[u_1,u_2,u_3],[w_1,w_2,w_3],[v_1,v_2,v_3]]| fazemos duas trocas de linha em relação à matriz |[[w_1,w_2,w_3],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]| . Para cada vez que trocamos uma linha, o determinante é multiplicado por ( - 1 ) .

Logo,

w * (u xx v) = |[[w_1,w_2,w_3],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]| = (- 1) ( - 1 ) (3)

w * (u xx v) = |[[w_1,w_2,w_3],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]| = 3

Resposta

w * (u xx v) = 3

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(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].
(a) Mostre que vec u_i j ^^ vec v_i j = D_a b vec K , vec u_i k ^^ vec v_i k = - D_a c vec J , vec u_j k ^^ vec v_j k = D_b c vec I , e, consequentemente S (omega_i j) = |D_a b| , S (omega_i k) = |D_a
(c) Sejam α ,β e γ , respectivamente, as medidas angulares entre u → ∧ v → e i → , u → ∧ v → e j → , u → ∧ v → e k → .Mostre que S Ω i j = S Ω cos ⁡ γ ,S Ω i k = S Ω cos ⁡ β e S Ω j k = S Ω cos ⁡ α .
Sejam ∧ e ∧ * os produtos vetoriais associados às duas orientações distintas de V 3 . Exprima: a → ∧ * b → em função de a → ∧ b → ; a → ∧ * b → ∧ * c → em função de a → ∧ b → ∧ c → ; a → ∧ * b → ∧ * c
No triângulo A B C , A H é a altura relativa ao vértice A . Prove que B C → ∧ ( A B → ∧ A C → ) é paralelo a A H .