Enunciado

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.

(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,   0 1 3 2 3 2 3

(b) 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 1 ,   0 0 1 - 1

Passo 1

O produto interno, nesse caso, é:

A ⋅ B = a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b 22

E para ser ortogonal: (fé no pai...)

A ⋅ B = 0

A ⋅ C = 0

A ⋅ D = 0

B ⋅ C = 0

B ⋅ D = 0

C ⋅ D = 0

Passo 2

(a) Vamos chamar:

A = 1 0 0 0

B = 0 2 3 1 3 - 2 3

C = 0 2 3 - 2 3 1 3

D = 0 1 3 2 3 2 3

Então é ortogonal.

Passo 3

Vamos achar, agora, os muitos produtos internos:

A ⋅ B = 1 0 + 0 2 3 + 0 1 3 + 0 - 2 3

A ⋅ B = 0

A ⋅ C = 1 0 + 0 2 3 + 0 - 2 3 + 0 1 3

A ⋅ C = 0

A ⋅ D = 1 0 + 0 1 3 + 0 2 3 + 0 2 3

A ⋅ D = 0

B ⋅ C = 0 0 + 2 3 2 3 + 1 3 - 2 3 + - 2 3 1 3

B ⋅ C = 0

B ⋅ D = 0 0 + 2 3 1 3 + 1 3 2 3 + - 2 3 2 3

B ⋅ D = 0

C ⋅ D = 0 0 + 2 3 1 3 + - 2 3 2 3 + 1 3 2 3

C ⋅ D = 0

Passo 4

(b) Vamos chamar: 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 1 ,   0 0 1 - 1

A = 1 0 0 0

B = 0 1 0 0

C = 0 0 1 1

D = 0 0 1 - 1

Passo 5

Vamos achar, agora, os muitos produtos internos:   1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 1 ,   0 0 1 - 1

A ⋅ B = 1 0 + 0 1 + 0 0 + 0 0

A ⋅ B = 0

A ⋅ C = 1 0 + 0 0 + 0 1 + 0 1

A ⋅ C = 0

A ⋅ D = 1 0 + 0 0 + 0 1 + 0 - 1

A ⋅ D = 0

B ⋅ C = 0 0 + 1 0 + 0 1 + 0 1

B ⋅ C = 0

B ⋅ D = 0 0 + 1 0 + 0 1 + 0 - 1

B ⋅ D = 0

C ⋅ D = 0 0 + 0 0 + 1 1 + 1 - 1

C ⋅ D = 0

Então é ortogonal.

Resposta

(a) Sim

(b) Sim

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3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
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