Enunciado

2. (a) Mostre que a matriz

A = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3

é ortogonal.

(b) Seja T : R 3 → R 3 a multiplicação pela matriz A da parte ( a ) . Encontre T ( x ) com o vetor x = - 2 ,     3 ,     5 . Usando o produto interno euclidiano de R 3 , verifique que T x = x .

Passo 1

(a) Uma matriz é ortogonal, se

A A T = A T A = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

B = a b c d e f g h i

B T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de A

A = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3

A T = 1 3 2 3 - 2 3 2 3 - 2 3 - 1 3 2 3 1 3 2 3

Passo 4

Retornando para

A T A = I

A T A = 1 3 2 3 - 2 3 2 3 - 2 3 - 1 3 2 3 1 3 2 3 ∙ 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

A T A = 1 3 2 3 - 2 3 2 3 - 2 3 - 1 3 2 3 1 3 2 3 ∙ 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 - 2 3 - 1 3 2 3

= 1 3 ∙ 1 3 + 2 3 ∙ 2 3 + - 2 3 ∙ - 2 3 1 3 ∙ 2 3 + 2 3 ∙ - 2 3 + - 2 3 ∙ - 1 3 1 3 ∙ 2 3 + 2 3 ∙ 1 3 + - 2 3 ∙ 2 3 2 3 ∙ 1 3 + - 2 3 ∙ 2 3 + - 1 3 ∙ - 2 3 2 3 ∙ 2 3 + - 2 3 ∙ - 2 3 + - 1 3 ∙ - 1 3 2 3 ∙ 2 3 + - 2 3 ∙ 1 3 + - 1 3 ∙ 2 3 2 3 ∙ 1 3 + 1 3 ∙ 2 3 + 2 3 ∙ - 2 3 2 3 ∙ 2 3 + 1 3 ∙ - 2 3 + 2 3 ∙ - 1 3 2 3 ∙ 2 3 + 1 3 ∙ 1 3 + 2 3 ∙ 2 3

A T A = 1 9 + 4 9 + 4 9 2 9 - 4 9 + 2 9 2 9 + 2 9 - 4 9 2 9 - 4 9 + 2 9 4 9 + 4 9 + 1 9 4 9 - 2 9 - 2 9 2 9 + 2 9 - 4 9 4 9 - 2 9 - 2 9 4 9 + 1 9 + 4 9

A T A = 1 9 + 8 9 2 9 - 2 9 4 9 - 4 9 2 9 - 2 9 4 9 + 5 9 4 9 - 4 9 2 9 - 2 9 4 9 - 4 9 4 9 + 5 9

A T A = 9 9 0 9 0 9 0 9 9 9 0 9 0 9 0 9 9 9

A T A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então, temos

A T A = I

Resposta

A matriz A é ortogonal.

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