Enunciado

É verdadeira a recíproca do 7.2 . 2 b ? Explique

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

Não é verdadeira.

Se liga no próximo passo, que vamos entender o raciocínio!

Passo 2

Uma matriz não simétrica também pode de autovalores distintos. Por exemplo:

A = [[[2,0],[1,4]]]

Passo 3

Vamos determinar os autovalores:

|A - lambda I| = 0

E vamos fazer parte, primeiro lambda I :

lambda I = [[[1,0],[0,1]]] * lambda

lambda I = [[[1,*,lambda,0,*,lambda],[0,*,lambda,1,*,lambda]]]

lambda I = [[[lambda,0],[0,lambda]]]

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

|lambda I - A| = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

|lambda I - A| = [[[lambda,0],[0,lambda]]] - [[[2,0],[1,4]]]

Reescrevendo, temos:

|lambda I - A| = |[[lambda,-,2,0],[-,1,lambda,-,4]]|

Então:

|[[lambda,-,2,0],[-,1,lambda,-,4]]| = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

|[[lambda,-,2,0],[-,1,lambda,-,4]]| = 0

(lambda - 2) * (lambda - 4) - 0 = 0

(lambda - 2) * (lambda - 4) = 0

Temos:

lambda_1 = 2

lambda_2 = 4

Passo 6

Agora é a vez dos autovetores:

|A - lambda I| v = 0

Onde:

v = [[[x],[y]]]

Logo:

|A - lambda I| * [[[x],[y]]] = 0

Como já temos |A - lambda I| :

|[[lambda,-,2,0],[-,1,lambda,-,4]]| * [[[x],[y]]] = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Fácil, não!?

Passo 7

Para lambda_1 = 2 :

|[[2,-,2,0],[-,1,2,-,4]]| * [[[x],[y]]] = 0

|[[0,0],[-,1,-,2]]| * [[[x],[y]]] = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- x - 2 y = 0

Isolando x :

x = - 2 y

Temos:

y = y

Escrevendo:

v = [[[x],[y]]]

v_1 = [[[-,2,y],[y]]]

Colocando y em evidência, temos:

v_1 = y * [[[-,2],[1]]]

Temos que o valor de autovetor é:

v_1 = [[[-,2],[1]]]

Passo 8

Para lambda_2 = 4 :

|[[4,-,2,0],[-,1,4,-,4]]| * [[[x],[y]]] = 0

|[[2,0],[-,1,0]]| * [[[x],[y]]] = 0

Montando em forma de sistema, temos:

{[[2,x,=,0],[-,x,=,0]])

Temos:

x = 0

E também, temos:

y = y

Escrevendo:

v = [[[x],[y]]]

v_2 = [[[0],[y]]]

Colocando y em evidência, temos:

v_2 = y * [[[0],[1]]]

Temos que o valor de autovetor é:

v_2 = [[[0],[1]]]

Passo 9

Durante a prova do Teorema 7.2 . 2 b , temos:

lambda_1 v_1 * v_2 = v_1 * lambda_2 v_2

2 * [[[-,2],[1]]] * [[[0],[1]]] = [[[-,2],[1]]] * 4 * [[[0],[1]]]

[[[-,4],[2]]] * [[[0],[1]]] = [[[-,2],[1]]] * [[[0],[4]]]

- 4 * 0 + 2 * 1 = - 2 * 0 + 4 * 1

2 != 4

Ou seja:

lambda_1 v_1 * v_2 != v_1 * lambda_2 v_2

Resposta

Não é verdadeira a recíproca.

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