Enunciado

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = 1 1 0 1 1 0 0 0 0

Passo 1

E aí? Bora matar essa questão?

Bom, precisamos encontrar a matriz P que diagonaliza A e P - 1 A P , mas o que é isso?

Então, P é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz P :

Agora, o que é P - 1 A P , é a multiplicação das matrizes.

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

P - 1 = P T

Passo 2

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 1 1 0 1 1 0 0 0 0

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 0 0 0 λ

Então:

λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 0 0 0 λ = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 0 0 0 λ λ - 1 - 1 - 1 λ - 1 0 0

λ - 1 ∙ λ - 1 ∙ λ + 0 + 0 - 0 - 0 - λ = 0

λ - 1 ∙ λ - 1 ∙ λ - λ = 0

λ 2 - 2 λ + 1 ∙ λ - λ = 0

λ 3 - 2 λ 2 + λ - λ = 0

λ 3 - 2 λ 2 = 0

Colando λ 2 em evidência:

λ 2 λ - 2 = 0  

Temos que:

λ 1 = λ 2 = 0

λ 3 = 2

Passo 6

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 0 0 0 λ ∙ x y z = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 7

Para λ 1 = 0 :

0 - 1 - 1 0 - 1 0 - 1 0 0 0 0 ∙ x y z = 0

- 1 - 1 0 - 1 - 1 0 0 0 0 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- x - y = 0 - x - y = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

- x - y = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

- x = y

x = - y

Como z , não aparece podemos dizer que:

z = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 1 = - y y 0

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ - 1 1 0

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = - 1 1 0

Como λ 1 = λ 2 = 0 , podemos descobrir v 2 , temos que:

v = v 1 + v 2

Onde:

v = - s s t = s - 1 1 0 + t 0 0 1

Então:

v 2 = 0 0 1

Passo 8

Para λ 3 = 2 :

2 - 1 - 1 0 - 1 2 - 1 0 0 0 2 ∙ x y z = 0

1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 2 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

x - y = 0 - x + y = 0 2 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vamos escolher a primeira:

x - y = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

x = y

Falta saber o valor de z , para isso usamos a terceira equação:

2 z = 0

Isolando z , temos:

z = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 3 = y y 0

Colocando y em evidência, temos:

v 3 = y ∙ 1 1 0

Passo 9

Estamos mandando bem!!! Bora determinar normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 - 1 2 + 1 2 + 0 2 ∙ - 1 1 0

u 1 = 1 1 + 1 ∙ - 1 1 0

u 1 = 1 2 ∙ - 1 1 0

u 1 = - 1 2 1 2 0

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 0 2 + 0 + 1 2 ∙ 0 0 1

u 2 = 1 1 ∙ 0 0 1

u 2 = 1 1 ∙ 0 0 1

u 2 = 1 ∙ 0 0 1

u 2 = 0 0 1

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 1 2 + 1 2 + 0 2 ∙ 1 1 0

u 3 = 1 2 ∙ 1 1 0

u 3 = 1 2 1 2 0

Passo 10

Não desiste de mim, que falta pouco!!!

Bora escrever, P !?

Para escrever P , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas, então:

P = - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

Passo 11

Estamos quase no fim, eu juro!!!

Agora vamos determinar P - 1 , lembra o que eu disse lá no Passo 1?

Relaxa que eu te recordo,   P é uma matriz ortogonal, então:

P - 1 = P T

P T = - 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 1 2 0

Passo 12

Último passo antes da tão sonhada P T A P !!!!

Só precisamos fazer substituir:

P - 1 A P = P T A P

P T A P = - 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 1 2 0 ∙ 1 1 0 1 1 0 0 0 0 ∙ - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

Passo 13

Bora fazer com a nossa multiplicação!!!

P T A P = - 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 1 2 0 ∙ 1 1 0 1 1 0 0 0 0 ∙ - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

P T A P = - 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 2 0 0 0 0 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 0 ∙ - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

P T A P = 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 ∙ - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

P T A P = 0 0 0 0 0 0 2 2 ∙ - 1 2 + 2 2 ∙ 1 2 0 2 2 ∙ 1 2 + 2 2 ∙ 1 2

P T A P = 0 0 0 0 0 0 - 2 2 + 2 2 0 2 2 + 2 2

P T A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2

P T A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 2

Mandamos bem!!! Partiu, outra questão?

Resposta

P = - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

P T A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 2

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