Enunciado

Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.

0 0 1 0 2       0 1       0 0 1 0 0 - 2 0 0 1

Passo 1

Para descobrimos a equação característica de uma matriz, devemos nos lembrar da seguinte propriedade que as definem,

det ⁡ A - λ I = 0

Logo para a matriz anteriormente citada teremos,

A - λ I = 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 - 2 0 0 1 -   λ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 =   0 - λ 0 1 0 - λ 2                       0 1                       0 0                 1 0                 0 - 2 - λ 0 0 1 - λ

Para conseguirmos calcular o determinante de uma matriz 4x4, teremos que reduzir a matriz a uma forma escalonada, para que ela tenha a seguinte cara,

a ⋯ b 0 ⋱ ⋮ 0 0 c

Desta maneira, seguiremos os seguintes passos,

0 - λ 0 1 0 - λ 2                       0 1                       0 0                 1 0                 0 - 2 - λ 0 0 1 - λ   A p l i c a n d o ,     R 2   ← R 2 +   1 λ   R 1

= - λ 0 0 - λ 2                       0 λ + 2 λ                       0 0                 1 0                 0 - 2 - λ 0 0 1 - λ   A p l i c a n d o ,     R 3   ← R 3 +   1 λ   R 2

= - λ 0 0 - λ 2                       0 λ + 2 λ                       0 0                 1 0                 0 - λ 3 - 2 λ 2 + λ + 2 λ 2 0 0 1 - λ  

Agora, podemos calcular o determinante da matriz apenas fazendo o produto diagonal.

det ⁡ A - λ I = 0   → - λ - λ - λ 3 - 2 λ 2 + λ + 2 λ 2 1 - λ = λ - 1 2 λ + 1 λ + 2 = 0

Resposta

Arrumando a expressão acima, teremos a nossa equação característica da matriz,

λ 4   +   λ 3 - 3 λ 2 - λ + 2 = 0

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