Enunciado

Seja A uma matriz 2x2. Dizemos que uma reta pela origem de R 2 é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R 2 que são invariantes pela matriz dada.

A = 2 3 0 2

Passo 1

Bom, para resolvermos essa questão precisamos entender alguns conceitos. Os vetores Ax e x estarão sempre na mesma linha passando pela origem, se e apenas se, existir um autovalor real, que respeite a seguinte condição,

A x = λ x

Sabendo disso, agora temos que encontrar os autovalores da matriz A. Uma possibilidade para isso é encontrarmos a equação característica e depois as suas raízes, como já fizemos em algumas outras questões.

A equação característica da seguinte matriz será,

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

Dessa Forma,

λ 1 = 2

Passo 2

Agora para concluirmos, temos que encontrar as bases nos autoespaços associados a cada um dos autovetores,

2 - λ 3 0 2 - λ * x 1 x 2 =   0 0

Resposta

Para λ = 2 , teremos a seguinte base associada,

1 0

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