Enunciado

Mostre que a equação característica de uma matriz A de tamanho 2 x 2 pode ser expressa como λ 2 - t r A + det ⁡ A = 0 , onde t r ( A ) é o traço de A.

Passo 1

Definindo uma matriz genérica 2 x 2 para resolvermos a questão tem-se,

a b c d

Primeiro temos que lembrar o que é o traço de uma matriz, e isso não é muito complicado, olha como é a definição,

t r A = a + d

Ou seja, a soma dos termos da diagonal principal da matriz. E apenas para recapitularmos, para se calcular o determinante de uma matriz 2 x 2 temos,

det ⁡ A = a d - b c

Passo 2

Com tudo isso muito bem definido, vamos encontrar o polinômio característicos da matriz A, utilizando os mesmos passos que a gente vem usando nos outros exercícios.

Então, teremos a seguinte equação,

λ 2 - a + d λ + a d - b c = 0

Resposta

E agora não é muito difícil perceber as substituições que podemos fazer, e então, provamos que a equação característica pode ser expressa da seguinte forma,

λ 2 - t r A + det ⁡ A = 0

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Use o resultado do Exercício 19 da Seção 5.1 para provar o Teorema 7.2 . 2 a com matrizes 2 × 2 simétricas.
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(a) Mostre que se v for uma matriz n × 1 qualquer e I for a matriz identidade n × n , então I - v v T é diagonalizável ortogonalmente.(b) Encontre uma matriz P que diagonaliza I - v v T ortogonalmente
Prove que se A for uma matriz m × n qualquer, então A T A tem um conjunto ortonormal de n autovetores.
Mostre que se A for uma matriz simétrica e ortogonal, então 1e - 1 são seus únicos autovalores possíveis.