Enunciado

4. Em cada parte, encontre a solução de mínimos quadrados do sistema linear A x = b → .

(a) A = 3 2 - 1 1 - 4 3 1 10 - 7 ;   b → = 2 - 2 1

(b) A = 2 0 - 1 1 - 2 0 2 - 1 0 0 1 - 1 ; b → = 0 6 0 6  

Passo 1

Então o sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

(a) Fazendo A T A :

A T A = 1 - 1 - 1 1 1 2 1 1 - 1 1 - 1 2

A T A = 3 - 2 - 2 6

Agora fazendo A T b → :

A T b → = 1 - 1 - 1 1 1 2 7 0 - 7

A T b → = 14 - 7

O sistema normal:

3 - 2 - 2 6 x 1 x 2 = 14 - 7

Passo 2

Vamos escalonar:

3 3 - 2 3 - 2 6 x 1 x 2 = 14 3 - 7

1 - 2 3 - 2 6 x 1 x 2 = 14 3 - 7

Fazendo (linha 2)=(linha 2)+2(linha 1):

1 - 2 3 0 14 3 x 1 x 2 = 14 3 7 3

Escrevendo o sistema e resolvendo:

x 1 - 2 3 x 2 = 14 3 14 3 x 2 = 7 3

x 2 = 1 2

x 1 - 2 3 1 2 = 14 3

x 1 - 1 4 = 14 3

x 1 = 15 3

x 1 = 5

Então a solução é:

x 1 x 2 = 5 1 / 2

Passo 3

Então o sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

(b) Fazendo A T A :

A T A = 1 2 1 1 0 1 1 1 - 1 - 2 0 - 1 1 0 - 1 2 1 - 2 1 1 0 1 1 - 1  

A T A = 7 4 - 6 4 3 - 3 - 6 - 3 6

Agora fazendo A T b → :

A T b → = 1 2 1 1 0 1 1 1 - 1 - 2 0 - 1 6 0 9 3

A T b → = 18 12 - 9

O sistema normal:

7 4 - 6 4 3 - 3 - 6 - 3 6 x 1 x 2 x 3 = 18 12 - 9

Passo 4

Vamos escalonar:

7 7   4 7 - 6 7   4 3 - 3 - 6 - 3 6 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 - 9

1   4 7 - 6 7 4 3 - 3 - 6 - 3 6 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 - 9

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-4(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)+6(linha 1):

1   4 7 - 6 7 0 3 - 4 4 7 - 3 - 4 - 6 7 0 - 3 + 6 4 7 6 + 6 - 6 7 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 - 4 18 7 - 9 + 6 18 7

1   4 7 - 6 7 0 5 7 3 7 0 3 7 6 7 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 7 45 7

Podemos deixar a terceira linha mais bonitinha multiplicando tudo por 7...

1   4 7 - 6 7 0 1 3 5 0 3 6 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 5 45

Fazendo (linha 3)=(linha 3)-3(linha 2):

1   4 7 - 6 7 0 1 3 5 0 0 6 - 3 3 5 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 5 45 - 3 12 5

1   4 7 - 6 7 0 1 3 5 0 0 21 5 x 1 x 2 x 3 = 18 7 12 5 189 5

Multiplicando a primeira linha por 7, a segunda linha por 5 e a terceira por 5...

7   4 - 6 0 5 3 0 0 21 x 1 x 2 x 3 = 18 12 189

Escrevendo o sistema e resolvendo:

7 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = 18 5 x 2 + 3 x 3 = 12 21 x 3 = 189

21 x 3 = 189

x 3 = 9

5 x 2 + 3 x 3 = 12

5 x 2 + 3 9 = 12

x 2 = - 3

7 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = 18

7 x 1 + 4 - 3 - 6 9 = 18

x 1 = 12

Então a solução é:

x 1 x 2 x 2 = 12 - 3 9

Resposta

(a) x 1 x 2 = 5 1 / 2

(b) x 1 x 2 x 2 = 12 - 3 9

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