Enunciado

7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.

(a) - 1,2 , 6,3

(b) 1,0 , - 1 , 2,0 , 2 , 0,5 , 0

(c) 1 5 , 1 5 , 1 5 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 3 , 1 3 , - 2 3

Passo 1

(a) O produto interno euclidiano é:

u → ⋅ v → = u 1 v 1 + u 2 v 2

E para ser ortogonal:

u → ⋅ v → = 0

Fazendo o produto interno:

u → ⋅ v → = - 1 6 + 2 3

u → ⋅ v → = 0

Então é ortogonal.

Passo 2

Para normalizar é só dividir pela norma:

u N = u u

Então:

u N = - 1 - 1 2 + 2 2 , 2 - 1 2 + 2 2

u N = - 1 5 , 2 5

v N = 6 6 2 + 3 2 , 3 6 2 + 3 2

v N = 6 3 5 , 3 3 5

v N = 2 5 , 1 3 5

Os vetores normalizados são:

- 1 5 , 2 5 , 2 5 , 1 3 5

Passo 3

(a) O produto interno euclidiano é:

u → ⋅ v → = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

E para ser ortogonal:

u → ⋅ v → = 0

u → ⋅ w → = 0

v → ⋅ w → = 0

Fazendo o produto interno:

u → ⋅ v → = 1 2 + 0 0 + - 1 2

u → ⋅ v → = 0

u → ⋅ w → = 1 0 + 0 5 + - 1 0

u → ⋅ w → = 0

v → ⋅ w → = 2 0 + 0 5 + 2 0

v → ⋅ w → = 0

Então é ortogonal.

Passo 4

Para normalizar é só dividir pela norma:

u N = u u

Então:

u N = 1 1 2 + 0 2 + - 1 2 , 0 1 2 + 0 2 + - 1 2 , - 1 1 2 + 0 2 + - 1 2

u N = 1 2 , 0 , - 1 2

v N = 2 2 2 + 0 2 + 2 2 , 0 2 2 + 0 2 + 2 2 , 2 2 2 + 0 2 + 2 2

v N = 2 2 2 , 0 , 2 2 2

v N = 1 2 , 0 , 1 2

w N = 0 0 2 + 5 2 + 0 2 , 5 0 2 + 5 2 + 0 2 , 0 0 2 + 5 2 + 0 2

w N = 0 , 5 5 , 0

w N = 0,1 , 0

Os vetores normalizados são:

1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 2 , 0,1 , 0

Passo 5

(c) O produto interno euclidiano é:

u → ⋅ v → = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

E para ser ortogonal:

u → ⋅ v → = 0

u → ⋅ w → = 0

v → ⋅ w → = 0

Fazendo o produto interno:   1 5 , 1 5 , 1 5 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 3 , 1 3 , - 2 3

u → ⋅ v → = 1 5 - 1 2 + 1 5 1 2 + 1 5 0

u → ⋅ v → = 0

u → ⋅ w → = 1 5 1 3 + 1 5 1 3 + 1 5 - 2 3

u → ⋅ w → = 0

v → ⋅ w → = - 1 2 1 3 + 1 2 1 3 + 0 - 2 3

v → ⋅ w → = 0

Então é ortogonal.

Passo 6

Para normalizar é só dividir pela norma:

u N = u u

Então:   1 5 , 1 5 , 1 5 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 3 , 1 3 , - 2 3

u N = 1 5 1 5 2 + 1 5 2 + 1 5 2 , 1 5 1 5 2 + 1 5 2 + 1 5 2 , - 1 5 1 5 2 + 1 5 2 + 1 5 2

u N = 1 5 1 5 3 , 1 5 1 5 3 , - 1 5 1 5 3

u N = 1 3 , 1 3 , 1 3

v N = - 1 2 - 1 2 2 + 1 2 2 + 0 2 , 1 2 - 1 2 2 + 1 2 2 + 0 2 , 0 - 1 2 2 + 1 2 2 + 0 2

v N = - 1 2 1 2 2 , 1 2 1 2 2 , 0 1 2 2

v N = - 1 2 , 1 2 , 0

w N = 1 3 1 3 2 + 1 3 2 + - 2 3 2 , 1 3 1 3 2 + 1 3 2 + - 2 3 2 , - 2 3 1 3 2 + 1 3 2 + - 2 3 2

w N = 1 3 1 3 6 , 1 3 1 3 6 , - 2 3 1 3 6

w N = 1 6 , 1 6 , - 2 6

Os vetores normalizados são:

1 3 , 1 3 , 1 3 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 6 , 1 6 , - 2 6

Resposta

(a) - 1 5 , 2 5 , 2 5 , 1 3 5

(b) 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 2 , 0,1 , 0

(c) 1 3 , 1 3 , 1 3 , - 1 2 , 1 2 , 0 , 1 6 , 1 6 , - 2 6

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3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
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