Enunciado

21. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 numa base ortonormal e esboce os vetores de ambas as bases no plano x y .

(a)   u → 1 = 1 , - 3 , u → 2 = 2,2

(a)   u → 1 = 1,0 , u → 2 = 3 , - 5

Passo 1

(a) Pelo processo, primeiro vamos repetir o primeiro vetor:

  v → 1 =   u → 1

v → 1 = 1 , - 3

Depois fazemos a projeção pra achar o segundo:

v → 2 =   u → 2 - u → 2 ⋅ v → 1 v → 1 2 v → 1

Fazendo o produto interno:

u → 2 ⋅ v → 1 = 2 1 + ( 2 ) ( - 3 )

u → 2 ⋅ v → 1 = - 4

Calculando a norma:

v → 1 = 1 2 + - 3 2

v → 1 = 10

Passo 2

Então:

v → 2 =   u → 2 - - 4 10 2 v → 1

v → 2 =   u → 2 + 2 5 v → 1

Fazendo as continhaszzzzZzzzZzZ...

v → 2 =   2,2 + 2 5 1 , - 3

v → 2 =   2,2 + 2 5 , - 6 5

v → 2 =   12 5 , 4 5

Para ser ortonormal:

q 1 = v → 1 v → 1

q 1 = 1 10 , - 3 10

q 2 = v → 2 v → 2

Calculando a norma de v 2 :

v → 2 = 12 5 2 + 4 5 2

v → 2 = 4 5 10

Então:

q 2 = 12 5 4 5 10 , 4 5 4 5 10

q 2 = 3 10 , 1 10

Passo 3

(a) Pelo processo, primeiro vamos repetir o primeiro vetor:

  v → 1 =   u → 1

v → 1 = 1,0

Depois fazemos a projeção pra achar o segundo:

v → 2 =   u → 2 - u → 2 ⋅ v → 1 v → 1 2 v → 1

Fazendo o produto interno:

u → 2 ⋅ v → 1 = 3 1 + ( - 5 ) ( 0 )

u → 2 ⋅ v → 1 = 3

Calculando a norma:

v → 1 = 1 2 + 0 2

v → 1 = 1

Passo 4

Então:

v → 2 =   u → 2 - 3 1 2 v → 1

v → 2 =   u → 2 - 3 v → 1

Fazendo as continhaszzzzZzzzZzZ...

v → 2 =   3 , - 5 - 3 1 , 0

v → 2 =   3 , - 5 - 3 , 0

v → 2 =   0 , - 5

Para ser ortonormal:

q 1 = v → 1 v → 1

q 1 = 1 1 , - 0 1

q 1 = 1 , 0

q 2 = v → 2 v → 2

Calculando a norma de v 2 :

v → 2 = 0 2 + - 5 2

v → 2 = 5

Então:

q 2 = 0 5 , - 5 5

q 2 = 0 , - 1

Resposta

(a) q 1 = 1 10 , - 3 10

q 2 = 3 10 , 1 10

(b) q 1 = 1,0

q 2 = 0 , - 1

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