Enunciado

Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico

2 y 2 - 4 x 2 = 1

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos achar uma maneira de deixar nessa forma.
  • O semi-eixo menor é dado c 2 = a 2 + b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • As assíntotas são dadas pela equação y = ± a b x
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c ,   y c - a ) e A 2 = x c ,   y c + a
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação y 2 - 4 x 2 = 1 , vamos transformá-la numa equação no formato:

y - y c 2 b 2 - x - x c 2 a 2 = 1

Para isso, a gente observa que na variável x , que está multiplicada por 4, é a mesma coisa se estivesse sendo dividida por 1 4 . O mesmo raciocínio vale para a variável y . Assim, temos:

y 2 - 4 x 2 = 1

2 y 2 - 4 x 2 = 1

y 2 1 2 - x 2 1 4 = 1

Passo 3

Analisando a equação y 2 1 2 - x 2 1 4 = 1 , temos que, se y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 .

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

a 2 = 1 2         ∴           a = 1 2

b 2 = 1 4           ∴             b = 1 2

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 + b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 1 2 + 1 4

c = 3 4

c = 3 2

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 3 2 1 2

e = 6 2

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( 0 ,   0 - 1 2 )

A 1 = 0 , - 1 2

Assim,

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( 0 ,   0 + 1 2 )

A 2 0 ,   1 2

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 1 = ( x c ,   y c - c )

F 1 = ( 0 ,   0 - 3 2 )

F 1 = 0 ,   - 3 2

Assim,

F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 2 = ( 0 ,   0 + 3 2 )

F 2 = 0 ,   3 2

Passo 8

Encontrados os pontos, vamos encontrar a equação das assíntotas usando da equação

y = ± a b x .

y 1 = a b x

y 1 = 1 2 1 2 x

y 1 = 2 2 x

Assim,

y 2 = - a b x

y 2 = - 1 2 1 2 x

y 2 = - 2 2 x

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole y 2 1 2 - x 2 1 4 = 1 e as equações das assíntotas:

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

A 1 0 , - 1 2 ,   A 2 0 , 1 2 ,   F 1 0 ,   - 3 2 ,   F 2 0 ,   3 2 e e = 6 2

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5.1.3. Escreva as equações das seguintes hipérboles: (a) Os focos são F1 = (3, −1) e F2 = (3, 4) e satisfaz | distância (P, F1) – distância (P, F2) | = 3;
Para todo ponto P =(m,n) na hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , mostre que a reta r :m x a 2 - n y b 2 = 1 tem apenas um ponto P em comum com H. A reta r chama-se a tangente de H no ponto P
Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole x 2 9 - y 2 4 = 1
Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 1?
Segundo a Geometria Elementar, se D é um ponto do lado BC do triângulo ABC então a reta AD é bissetriz do ângulo BÂC se, e somente se, A B ∙ C D = A C ∙ B D . Use este fato para mostrar que a tangente