Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Centro C ( 5,1 ) , um foco em ( 9,1 ) , eixo imaginário mede 4 2 .

Passo 1

Podemos começar a extrair algumas informações. O centro é dado por:

C = ( h , k )

C = ( 5,1 )

Então: h = 5

k = 1

Sabemos que a equação do foco pode ser dada por:

F 2 = ( h + c , k )

F = ( 9,1 )

Então:

h + c = 9

5 + c = 9

c = 4

Outra informação dada é que o comprimento do eixo imaginário é dado por 4 2 e sabemos também que esse valor vale 2 b , então:

2 b = 4 2

b = 2 2

Passo 2

Agora temos c   e b , então podemos encontrar a utilizando o teorema de Pitágoras:

c 2 = a 2 + b 2

4 2 = 2 2 2 + a 2

16 = 8 + a 2

a 2 = 8

Com isso, conseguimos montar a fórmula, utilizando a primeira referência :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

x - 5 2 8 - y - 1 2 8 = 1

Multiplicando tudo por 8, teremos:

x 2 - 10 x + 25 - y 2 - 2 y + 1 = 8

x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0

Resposta

x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0

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