Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Focos em ( 3,4 ) e F ( 3 , - 2 ) , excentricidade e = 2 .

Passo 1

O exercício nos fornece um conjunto de focos que varia em y , isso significa que usaremos a segunda referência, onde a equação da hipérbole será dada por:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Para encontrar o ponto de centro, é só calcularmos o ponto médio entre os focos:

C = 3 + 3 2 , 4 - 2 2 = ( 3,1 )

Se:

C = ( h , k )

Então:

h = 3

k = 1

A fórmula do foco F 3 , - 2   é dada por:

F ( h , k - c )

Então:

k - c = - 2

1 - c = - 2

- c = - 3

c = 3

Outra informação dada é a excentricidade:

e = 2 = c a

2 = 3 a

a = 3 2

Passo 2

Nós conhecemos a e c , isso nos permite usar o teorema de Pitágoras:

c 2 = a 2 + b 2

3 2 = 3 2 2 + b 2

9 - 9 4 = b 2

36 - 9 = 4 b 2

27 4 = b 2

Passo 3

Podemos substituir para calcular na equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

y - 1 2 9 4 - x - 3 2 27 4 = 1

A multiplicação de frações pode se dar por:

4 y - 1 2 9 - 4 x - 3 2 27 = 1

Multiplicando tudo por 27 :

3.4 y - 1 2 - 4 x - 3 2 = 27

12 y 2 - 2 y + 1 - 4 x 2 - 6 x + 9 = 27

12 y 2 - 24 y + 12 - 4 x 2 + 24 x - 36 - 27 = 0

Multiplicando por - 1 :

4 x 2 - 12 y 2 - 24 x + 24 y + 51 = 0

Resposta

4 x 2 - 12 y 2 - 24 x + 24 y + 51 = 0

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