Enunciado

Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

27. y 2 + 2 y - 16 x - 31 = 0

Passo 1

Vamos começar pela equação da nossa parábola mais geral, com vértice V h , k :

y - k 2 = 2 p x - h

Mas antes precisamos deixar a equação da questão com a cara mais bonita e parecida com essa que temos genétrica da parábola, ne...

Vamos fazer o que chamamos de completar quadrados. É mais ou menos assim:

O y 2 + 2 y você quer tranformar em algo como: y - k 2

Bem.. lembra que:

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

Concorda que podemos escrever a equação da forma:

y 2 + 2 y + 1 - 16 x - 32 = 0

Então:

y 2 + 2 y + 1 = 16 x + 32

y + 1 2 = 16 x + 2

Comparando tudo, agora:

h = - 2

k = - 1

Então:

V - 2 , - 1

E:

2 p = 16

p = 8

Passo 2

Lembra que o sinal do p só indica se a parábola é pra esquerda ou pra direita??? No nosso caso, como é negativo, então tem concavidade pra esquerda.

E que p é a distância entre o foco e a diretriz (e também que o vértice está bem no meio de p )

Então:

Foco:

F 2 , - 1

Diretriz:

x = - 6

Eixo de simetria:

y = - 1

Resposta

V 3 , - 2

F - 1 , - 2

x = 7

y = - 2

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