Enunciado

Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

25 x 2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y - 311 = 0

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos completar quadrados para que ela chegue nesse formato.
  • O semi-eixo menor é dado a 2 = b 2 + c 2           →           c 2 = a 2 - b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = ( x c + a ,   y c )
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação 25 x 2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y - 311 = 0 , vamos transformá-la numa equação no formato:

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

Para isso, vamos completar quadrados. Pegando 25 x 2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y - 311 = 0 vamos agrupar os termos com x e com y e ver quais quadrados perfeitos eles seriam resultados. Uma vez achados os possíveis quadrados perfeitos, lembrar de subtrair fora do parênteses pelo quadrado do segundo termo de a x 1 + b 2 .

25 x 2 + 50 x + 16 y 2 + 64 y - 311 = 0

25 x + 1 2 - 25 + 16 y + 2 2 - 64 - 311 = 0

25 x + 1 2 + 16 y + 2 2 - 311 - 25 - 64 = 0

25 x + 1 2 + 16 y + 2 2 = 400

Por último, vamos dividir a equação toda por 400 para assim:

25 x + 1 2 400 + 16 y + 2 2 400 = 400 400

x + 1 2 400 25 + y + 2 2 400 16 = 1

x + 1 2 16 + y + 2 2 25 = 1

Como o maior denominador está dividindo a variável y , essa elipse é tem seu maior eixo paralelo ao eixo y . Assim, a equação modelo é:

x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1

Passo 3

Analisando a equação x + 1 2 16 + y + 2 2 25 = 1 , temos que, se x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1 .

x c ,   y c = ( - 1 ,   - 2 )

a 2 = 25         ∴           a = 5

b 2 = 16           ∴             b = 4

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 - b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 25 - 16

c = 9

c = 3

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 3 5

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( - 1 ,   - 2 - 5 )

A 1 = ( - 1 ,   - 7 )

Assim,

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( - 1 ,   - 2 + 5 )

A 2 ( - 1 ,   3 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 1 = ( x c ,   y c - c )

F 1 = ( - 1 ,   - 2 - 3 )

F 1 = - 1 ,   - 5

Assim,

F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 2 = ( - 1 ,   - 2 + 3 )

F 2 = ( - 1 ,   1 )

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando apenas a equação da elipse x + 1 2 16 + y + 2 2 25 = 1 .

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

C - 1 ,   - 2 ,   A 1 - 1 ,   - 7 ,   A 2 - 1 ,   3 ,   F 1 - 1 ,   - 5 ,   F 2 - 1 ,   1 e e = 3 5

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