Enunciado

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  4. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  5. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  6. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  7. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

Como os focos estão localizados em O x , sabemos então que p 2 > q 2 . E, neste caso, chamamos estes denominadores de uma forma especial:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Para finalizarmos a questão, vamos utilizar as relações do eixo menor e da distância focal.

O eixo menor tem comprimento 2 b = 6 . Portanto, o valor de b é 3!

Já a distância focal tem comprimento 2 c = 8 . Logo, c = 4 .

Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

a 2 = c 2 + b 2 = 4 2 + 3 2

a 2 = 16 + 9 = 25

a = 5

Novamente, só assumimos o valor positivo, pois, os parâmetros geométricos são positivos por definição. Portanto, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 25 + y 2 9 = 1

Resposta

x 2 25 + y 2 9 = 1

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Focos F 1 ( 0 , - 5 ) e F 2 ( 0 , 5 ) , eixo menor igual a 10;
Focos F 1 ( - 4,0 ) e F 2 ( 4,0 ) , eixo maior igual a 10;
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Focos F ( ± 3 , 0 ) e vértices A ( ± 4,0 ) ;
Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que a soma de suas distâncias aos pontos ( 4 ,- 1 ) e ( 4 ,7 ) seja sempre 12 .