Enunciado

Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

16 x 2 + y 2 + 64 x - 4 y + 52 = 0

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos completar quadrados para que ela chegue nesse formato.
  • O semi-eixo menor é dado a 2 = b 2 + c 2           →           c 2 = a 2 - b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = ( x c + a ,   y c )
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação 16 x 2 + y 2 + 64 x - 4 y + 52 = 0 , vamos transformá-la numa equação no formato:

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

Para isso, vamos completar quadrados. Pegando 16 x 2 + y 2 + 64 x - 4 y + 52 = 0 vamos agrupar os termos com x e com y e ver quais quadrados perfeitos eles seriam resultados. Uma vez achados os possíveis quadrados perfeitos, lembrar de subtrair fora do parênteses pelo quadrado do segundo termo de a x 1 + b 2 .

16 x 2 + y 2 + 64 x - 4 y + 52 = 0

16 x 2 + 64 x + y 2 - 4 y + 52 = 0

16 x 2 + 4 x + y 2 - 4 y + 52 = 0

16 x + 2 2 - 4 + y - 2 2 - 4 + 52 = 0

16 x + 2 2 + y - 2 2 + 52 - 4 - 64 = 0

16 x + 2 2 + y - 2 2 - 16 = 0

16 x + 2 2 + y - 2 2 = 16

Por último, vamos dividir a equação toda por 16 para assim:

16 x + 2 2 16 + y - 2 2 16 = 16 16

x + 2 2 16 16 + y - 2 2 16 = 1

x + 2 2 1 + y - 2 2 16 = 1

Como o maior denominador está dividindo a variável y , essa elipse é tem seu maior eixo paralelo ao eixo y . Assim, a equação modelo é:

x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1

Passo 3

Analisando a equação x + 2 2 1 + y - 2 2 16 = 1 , temos que, se x - x c 2 b 2 + y - y c 2 a 2 = 1 .

x c ,   y c = ( - 2 ,   2 )

a 2 = 16         ∴           a = 4

b 2 = 1           ∴             b = 1

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 - b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 16 - 1

c = 15

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 15 4

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( - 2 ,   2 - 4 )

A 1 = ( - 2 , - 2 )

Assim,

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( - 2 ,   2 + 4 )

A 2 ( - 2 ,   6 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 1 = ( x c ,   y c - c )

F 1 = ( - 2 ,   2 - 15 )

Assim,

F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 2 = ( - 2 ,   2 + 15 )

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando apenas a equação da elipse x + 2 2 1 + y - 2 2 16 = 1 .

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

C - 2 ,   2 ,   A 1 - 2 , - 2 ,   A 2 - 2 ,   6 ,   F 1 - 2 ,   2 - 15 ,   F 2 - 2 ,   2 + 15 e e = 15 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam H a hipérbole de equação reduzida x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 , r 1 e r 2 suas assíntotas, e r uma reta.(a) Prove que, se r é uma das assíntotas, então r ∩ H = ∅ .(b) Prove que, se r não é assínto
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.1) x 2 100 + y 2 36 = 1
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.5) 4 x 2 + 9 y 2 = 25
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.10) centro C ( 0 ,0 ) , um foco F 3 4 , 0 e um vértice A ( 1 ,0 ) .
Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.2) x 2 36 + y 2 100 = 1