Enunciado

Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos completar quadrados para que ela chegue nesse formato.
  • O semi-eixo menor é dado a 2 = b 2 + c 2           →           c 2 = a 2 - b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = ( x c + a ,   y c )
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação 4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0 , vamos transformá-la numa equação no formato:

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

Para isso, vamos completar quadrados. Pegando 4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0 vamos agrupar os termos com x e com y e ver quais quadrados perfeitos eles seriam resultados. Uma vez achados os possíveis quadrados perfeitos, lembrar de subtrair fora do parênteses pelo quadrado do segundo termo de a x 1 + b 2 .

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 36 y + 4 = 0

4 x 2 - 2 x + 9 y 2 - 4 y + 4 = 0

4 x - 1 2 - 1 + 9 y - 2 2 - 4 + 4 = 0

4 x - 1 2 - 4 + 9 y - 2 2 - 36 + 4 = 0

4 x - 1 2 + 9 y - 2 2 - 36 - 4 + 4 = 0

4 x - 1 2 + 9 y - 2 2 = 36

Por último, vamos dividir a equação toda por 36 para assim:

4 x - 1 36 + 9 y - 2 2 36 = 36 36

x - 1 2 36 4 + y - 2 2 36 9 = 1

x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1

Como o maior denominador está dividindo a variável x , essa elipse é tem seu maior eixo paralelo ao eixo x . Assim, a equação modelo é:

x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1

Passo 3

Analisando a equação x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1 , temos que, se x - x c 2 a 2 + y - y c 2 b 2 = 1 .

x c ,   y c = ( 1 ,   2 )

a 2 = 9         ∴           a = 3

b 2 = 4           ∴             b = 2

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 - b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 9 - 4

c = 5

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 5 3

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c - a ,   y c )

A 1 = ( 1 - 3 ,   - 2 )

A 1 = ( - 2 , - 2 )

Assim,

A 2 = ( x c + a ,   y c )

A 2 = ( 1 + 3 , -   2 )

A 2 ( 4 ,   - 2 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 1 = ( x c - c ,   y c )

F 1 = ( 1 - 5 , 2 )

Assim,

F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 2 = ( 1 + 5 , 2 )

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando apenas a equação da elipse x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1 .

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

C 1 ,   2 ,   A 1 - 2 , 2 ,   A 2 4 ,   2 ,   F 1 1 - 5 , 2 ,   F 2 1 + 5 , 2 e e = 5 3

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