Enunciado

Sejam H   a hipérbole de equação reduzida x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 , r 1 e r 2 suas assíntotas, e r uma reta.

(a) Prove que, se r é uma das assíntotas, então r ∩ H = ∅ .

(b) Prove que, se r não é assíntota, mas paralela a uma delas, então r ∩ H contém um único ponto.

(c) Prove que, se r contém o centro da hipérbole, então r ∩ H = ∅ ou r é secante a H . Descreva a localização de r em cada um dos dois casos.

(d) Suponha que r : y = d x + I seja secante a H . A que condições devem obedecer d e I para que os pontos de r ∩ H pertençam ao mesmo ramo da hipérbole? E para que não pertençam.

(e) Prove que, para cada número real δ > 0 , existem um único ponto P do ramo H 2 e um único ponto Q do ramo H 1 tais que d P , r 2 = d Q , r 2 = δ . Faça uma figura para visualizar esta propriedade (vale resultado análogo para r 1 ).

Passo 1

(a) Primeiro vamos lembrar da fórmula para as assíntotas de uma hipérbole. Se a equação geral é:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Então as assíntotas são:

r :       y = ± b a x

Já que o enunciado falou em uma das assíntotas, vamos usar essa:

y = b a x

Substituindo isso na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - b a x 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - x 2 a 2 = 1

E essa equação não tem solução! Logo caímos na contradição 0 = 1 .

Ou seja:

r ∩ H = ∅

Passo 2

(b) Agora vamos supor que r seja uma reta paralela à nossa assíntota.

Se a equação da assíntota é:

y = b a x

Então uma reta paralela a ela tem essa equação aqui:

y = b a x + K

Ou seja, tem o mesmo coeficiente angular, mas difere por uma constante!

Substituindo isso na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - b a x + K 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - x 2 a 2 - 2 K b a x + K 2 = 1

Então:

2 K b a x - K 2 = 1

E o valor de x que satisfaz essa equação é:

x = a 1 + K 2 2 K b

Ou seja, temos apenas uma solução para o nosso sistema, que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 3

(c) Agora vamos supor que r seja uma reta qualquer que passa pela origem.

Então a forma geral dessa reta é:

r :           y = K x

Vamos substituir isso na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - K 2 x 2 b 2 = 1

Agora vamos isolar x :

x 2 1 a 2 - K 2 b 2 = 1

Supondo que 1 a 2 - K 2 b 2 ≠ 0 , vamos dividir tudo por esse termo e tirar a raiz dos dois lados:

x = ± 1 1 a 2 - K 2 b 2

Isso quer dizer que quando 1 a 2 - K 2 b 2 ≠ 0 nós temos duas soluções, e então a reta toca a hipérbole em dois pontos. Chamamos isso de uma reta secante à hipérbole.

Mas quando 1 a 2 - K 2 b 2 = 0 a equação vira uma contradição! E então não temos solução.

Aliás, vamos ver qual é o caso em que isso acontece:

1 a 2 - K 2 b 2 = 0

K 2 = b 2 a 2

Esse é o coeficiente angular da assíntota! Beleza, esse é um resultado esperado! Porque a assíntota realmente não toca a hipérbole.

Passo 4

(d) Agora vamos ver o que acontece quando a equação da reta é:

r : y = d x + I

Substituindo isso na equação da hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - d x + I 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - d 2 x 2 + 2 d x I + I 2 b 2 = 1

Vamos organizar isso como uma equação de segundo grau em x :

1 a 2 - d 2 b 2 x 2 - 2 d I b 2 x - I 2 b 2 - 1 = 0

Cada solução dessa equação é um ponto em que a nossa reta encontra a hipérbole.

O primeiro ramo da hipérbole inclui todos os pontos que tem x > 0 , e o segundo inclui todos os x < 0 .

Isso quer dizer que se as duas soluções x 1 e x 2 estiverem no mesmo ramo, então:

x 1 x 2 > 0

Porque terão o mesmo sinal! E se as duas soluções estiverem em ramos diferentes, então:

x 1 x 2 < 0

Lembra da fórmula para o produo das raízes de uma equação?

a x 2 + b x + c = 0         ⇒           x 1 x 2 = c a

Então:

x 1 x 2 = - I 2 b 2 + 1 1 a 2 - d 2 b 2 = I 2 b 2 + 1 d 2 b 2 - 1 a 2

Passo 5

Então, se queremos ter duas raízes no mesmo ramo:

x 1 x 2 > 0

I 2 b 2 + 1 d 2 b 2 - 1 a 2 > 0

O primeiro termo é sempre positivo, porque tudo nele está ao quadrado. Então a condição para essa expressão dar um número positivo é:

d 2 b 2 - 1 a 2 > 0

d 2 > b 2 a 2

Mas tem outra condição aí! A equação precisa ter duas raízes distintas. Isso significa que se a equação é essa:

a x 2 + b x + c = 0

Então para que as duas raízes sejam distintas:

b 2 - 4 a c > 0

Já que a nossa equação é:

1 a 2 - d 2 b 2 x 2 - 2 d I b 2 x - I 2 b 2 + 1 = 0

Então:

2 d I b 2 2 - 4 1 a 2 - d 2 b 2 - I 2 b 2 - 1 > 0

Agora vamos arrumar um pouco:

2 d I b 2 2 + 4 1 a 2 - d 2 b 2 + 4 1 a 2 - d 2 b 2 I 2 b 2 > 0

4 d 2 I 2 b 4 + 4 a 2 - 4 d 2 b 2 + 4 I 2 a 2 b 2 - 4 d 2 I 2 b 4 > 0

O primeiro e o último termo se cancelam:

4 a 2 - 4 d 2 b 2 + 4 I 2 a 2 b 2 > 0

- d 2 > b 2 4 - 4 a 2 - 4 I 2 a 2 b 2

- d 2 > - b 2 a 2 + I 2 a 2

Então, multiplicando tudo por - 1 e invertendo o sinal da inequação:

d 2 < b 2 + I 2 a 2

Então, resumindo, a condição para que as duas raízes estejam no mesmo ramo é:

b 2 a 2 < d 2 < b 2 + I 2 a 2

Passo 6

E agora vamos ver o que precisa acontecer para as duas soluções estarem em ramos diferentes:

x 1 x 2 < 0

O produto das raízes é:

x 1 x 2 = c a

Então:

I 2 b 2 + 1 d 2 b 2 - 1 a 2 < 0

A única forma de isso ser negativo é se o denominador for negativo, já que o numerador é sempre positivo. Então:

d 2 b 2 - 1 a 2 < 0

d 2 < b 2 / a 2

E a condição de termos duas raízes distintas?

b 2 - 4 a c > 0

Já que o produto das raízes (que é c / a ) é menor que zero, então a c também é! Então - 4 a c é um número positivo! Por isso essa desigualdade sempre é satisfeita.

Então a única condição para termos raízes em ramos diferentes é:

d 2 < b 2 / a 2

Passo 7

(e) Vamos lá, agora queremos provar que existe só um ponto P de um dos ramos e um ponto Q do outro ramo, tais que:

d P , r 2 = d Q , r 2 = δ

Onde δ > 0 é um número real. Lembrando que r 2 é uma das assíntotas.

Então pessoal, vamos pensar o seguinte: imagine o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância δ da assíntota.

Concorda que esse conjunto é uma reta paralela à assíntota? Isso quer dizer que os nossos pontos P e Q estão em retas do tipo que a gente viu lá no item (b):

y = b a x + K

Quem controla a distância dessa reta até a assíntota r 2 é a constante K ! E a gente viu que essa reta toca a hipérbole em um único ponto! E a abcissa desse ponto, conforme a gente calculou, é:

x = a 1 + K 2 2 K b

A única forma de duas retas tocarem a hipérbole à mesma distância de r 2 (sem que elas sejam a mesma reta), é se elas estiverem em lados opostos:

Ou seja:

s 2 :     y =   b a x - K

s 1 :     y =   b a x + K

Beleza, até aqui provamos que temos apenas dois pontos P e Q que tocam a hipérbole à mesma distância da assíntota.

Falta provar que eles estão em ramos diferentes! Pra isso é só voltar na fórmula de antes:

x = a 1 + K 2 2 K b

Quando o sinal da constante K muda, e todo o resto fica igual, fazemos K → - K :

x = a 1 + K 2 2 - K b = - a 1 + K 2 2 K b

Ou seja: os dois pontos tem abcissas com sinais opostos, e então estão em ramos diferentes!

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) Demonstração.

(d) A condição para que os pontos da interseção estejam no mesmo ramo é b 2 a 2 < d 2 < b 2 + I 2 a 2 , e para que estejam em ramos diferentes é d 2 < b 2 / a 2 .

(e) Demonstração.

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