Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

27. x 2 + 4 x + 8 y + 12 = 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o x que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo y . E a equação reduzida vai ter a cara:

x ' 2 = 2 p y '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem x de um lado só e o resto do outro lado.

x 2 + 4 x = - 8 y - 12

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do x e dividir por 2:

E daí fazemos:

Repare que “ x 2 + 4 x " já tem lá... Então vamos somar 4, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

x 2 + 4 x + 4 = - 8 y - 12 + 4

Podemos reescrever como:

x + 2 2 = - 8 y - 8

x + 2 2 = - 8 y + 1

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

x ' 2 = - 8 y '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = - 2

k = - 1

- O vértice fica:

V - 2 , - 1

Vamos já achar o p ...

2 p = - 8

p = - 4

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é negativo (então a parábola vai ter concavidade pra baixo, uma carinha triste). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Repare que como temos p , então p / 2 acima do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 abaixo do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F - 2 , - 3

- A equação da diretriz:

y = 1

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

x = - 4

Resposta

x ' 2 = - 8 y '

V - 2 , - 1

F - 2 , - 3

y = 1

x = - 2

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Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. x 2 = - 16 y
Nos exercícios de 21 a 26, ache uma nova equação para o gráfico da equação dada após uma translação de eixos para a nova origem, conforme está indicado. Trace os eixos originais e os novos e faça um e
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