Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

21) vértice: V ( 0 ,   - 2 ) ; diretriz d : 2 x - 3 = 0

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 4 ,   1 ) , logo:

V h , k = V 0 ,   - 2 ⇒ h = 0 ;   k = - 2

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que d : 2 x - 3 , podemos achar o valor de p .

x = h - p 2

2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2

Igualando as equações, temos:

h - p 2 = 3 2

0 - p 2 = 3 2

- p 2 = 3 2

p = - 3

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e a equação da parábola.

O foco vai ser dado por:

F h + p 2 , k

F 0 + - 3 2 ,   - 2 ⇒ F - 3 2 ,   - 2

Já a equação da parábola vai ser dada por:

y - k 2 = 2 p ( x - h )

y - ( - 2 ) 2 = 2 - 3 x - 0

y + 2 2 = - 6 x

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

y 2 + 4 y + 4 = - 6 x

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

y + 2 2 = - 6 x     o u     y 2 + 4 y + 4 = - 6 x

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Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,4 ) ; diretriz y = - 4 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para cima; o comprimento do latus rectum 3 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,- 2 ) ; diretriz y - 2 = 0 .
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Prove que o comprimento do latus rectum de uma parábola é 4 p .