Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

19) vértice: V ( 2 ,   - 1 ) ; foco: F : ( 5 ,   - 1 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 2 ,   - 1 ) , logo:

V h , k = V 2 ,   - 1 ⇒ h = 2 ;   k = - 1

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que foco: F : ( 5 ,   - 1 ) , podemos achar o valor de p . Não podemos nos esquecer daquele lembrete, como os SEGUNDOS valores V e F são iguais, o eixo é paralelo ao eixo dos x . 😉

F h + p 2 , k = F 5 , -   1

h + p 2 = 5 ⇒ 2 + p 2 = 5 ⇒ p 2 = 3 ⇒ p = 6 ;

k = - 1

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos uma equação diretriz e a equação da parábola.

A equação da diretriz vai ser dada por:

x = h - p 2

x = 2 - 6 2

x = 2 - 3 = - 1

Já a equação da parábola vai ser dada por:

y - k 2 = 2 p ( x - h )

y - ( - 1 ) 2 = 2 6 x - 2

y + 1 2 = 12 x - 2

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

y 2 + 2 y + 1 = 12 x - 24

y 2 + 2 y + 25 = 12 x

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

y + 1 2 = 12 x - 2     o u     y 2 + 2 y + 25 = 12 x

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Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para esquerda; o comprimento do latus rectum é 6 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco 0 , 2 3 ; diretriz 3 y + 2 = 0 .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. x 2 = 4 y
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco - 5 3 ,0 ; diretriz 5 - 3 x = 0 .
Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas. 4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0 ;