Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

31. y = x 2 4 - 2 x - 1

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o x que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo y . E a equação reduzida vai ter a cara:

x ' 2 = 2 p y '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem x de um lado só e o resto do outro lado.

x 2 4 - 2 x = y + 1

Vamos melhorar um pouco a cara fazendo o mmc...

x 2 - 8 x = 4 y + 4

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do x e dividir por 2:

- 8 2 = - 4

E daí fazemos:

x - 4 2 = x 2 - 8 x + 16

Repare que “ x 2 - 8 x " já tem lá... Então vamos somar 16, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

x 2 - 8 x + 16 = 4 y + 4 + 16

Podemos reescrever como:

x - 4 2 = 4 y + 20

x - 4 2 = 4 y + 5

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

x ' 2 = 4 y '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = 4

k = - 5

- O vértice fica:

V 4 , - 5

Vamos já achar o p ...

2 p = 4

p = 2

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é positivo (então a parábola vai ter concavidade pra cima, uma carinha feliz). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Reparei que como temos p , então p / 2 abaixo do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 acima do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F 4 , - 4

- A equação da diretriz:

y = - 6

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

x = 4

Resposta

x ' 2 = 4 y '

V 4 , - 5

F 4 , - 4

y = - 6

x = 4

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